Как се решават?

[Гост]

Може ли решения на задачите 227 - 230?

[Добромир Глухаров]

227.) $\begin{array}{|l}\sqrt{x+\frac{1}{y}}+\sqrt{y+\frac{1}{x}}=2\sqrt{2}\\(x^2+1)y+(y^2+1)x=4xy|:(xy)\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}\sqrt{x+\frac{1}{y}}+\sqrt{y+\frac{1}{x}}=2\sqrt{2}\\x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4\end{array}$

Полагаме $x+\frac{1}{y}=u^2;\ y+\frac{1}{x}=v^2;\ (u,v>0)\Rightarrow\begin{array}{|l}u+v=2\sqrt{2}\\u^2+v^2=4\end{array}$

$u^2+v^2=(u+v)^2-2uv=4\Rightarrow uv=2$

$u$ и $v$ са решения на уравнението $t^2-(u+v)t+uv=0\Leftrightarrow t^2-2\sqrt{2}t+2=0$

$t_{1,2}=\sqrt{2}\Rightarrow(u;v)=(\sqrt{2};\sqrt{2})\Rightarrow\begin{array}{|l}x+\frac{1}{y}=2\\y+\frac{1}{x}=2\end{array}$

$x-y+\frac{x-y}{xy}=0\Rightarrow(x-y)(xy+1)=0$

$u>0;\ v>0\Rightarrow xy+1>0\Rightarrow x=y\Rightarrow(x;y)=(1;1)$

[Добромир Глухаров]

228.) $\begin{array}{|l}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30\\(\sqrt{x}+\sqrt{y})((\sqrt{x})^2-\sqrt{xy}+(\sqrt{y})^2)=35\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30\\(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x+y-\sqrt{xy})=35\end{array}$

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=u;\ \sqrt{xy}=v$

$\begin{array}{|l}uv=30\\u(u^2-2v-v)=35\end{array}$

$v=\frac{30}{u};\ u(u^2-3\cdot\frac{30}{u})=35$

$u^3-90=35;\ u=5;\ v=6$

$(\sqrt{x};\sqrt{y})\in\{(2;3),(3;2)\}$

$(x;y)\in\{(4;9),(9;4)\}$

[Добромир Глухаров]

230.) $\begin{array}{|l}\sqrt{(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}})^2}=2,5\\|x+y|=5\end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l}\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=\pm2,5\\|x+y|=5\end{array}$

$\sqrt{\frac{x}{y}}=t>0$

$t+\frac{1}{t}=2,5$

$t_{1,2}=2;\frac{1}{2}$

$\begin{array}{|l}x=4y\\|x+y|=5\end{array}\cup\begin{array}{|l}y=4x\\|x+y|=5\end{array}$

$(x;y)\in\{(4;1),(1,4),(-4;-1),(-1;-4)\}$

[Добромир Глухаров]

229.) $\begin{array}{|l}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-1=\pm1,6\\xy=2\end{array}$

$\begin{array}{|l}\frac{-2y^2}{x^2+y^2}=\pm1,6\\xy=2\end{array}$

$(x;y)\notin\{(0;0)\}$

$\begin{array}{|l}-2y^2=\pm1,6x^2\pm1,6y^2\\xy=2\end{array}$

$\begin{array}{|l}1,6x^2+3,6y^2=0\\xy=2\end{array}\cup\begin{array}{|l}1,6x^2-0,4y^2=0\\xy=2\end{array}$

$4x^2=y^2;\ xy=2\Rightarrow y=\frac{2}{x}$

$4x^2=\frac{4}{x^2}\to x=\pm1;\ y=\pm2$

$(x;y)\in\{(1;2),(-1;-2)\}$

[ева]

В 227 зад. Гост ще осмисли по-лесно решението,ако не се включва неизв. t.
т.е. да си реши с-та с неизвестни u,v (чрез заместване) и ще получи отг.([tex]\sqrt{2}[/tex];[tex]\sqrt{2}[/tex])
След това да се върне към полагането и ще получи с-ма:
[tex]\begin{array}{|l} x + \frac{1}{у} =2\\ y+\frac{1}{х} = 2 \end{array}[/tex]

Лесно ще я реши и ще получи твоя отговор.

[S.B.]

Още едно предложение за зад.228:
[tex]\begin{array}{|l} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \\ x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 35 \end{array}[/tex]

Нека [tex]\sqrt{x}[/tex] = u,x = [tex]u^{2}[/tex] и [tex]\sqrt{y}[/tex] = v ,y = [tex]v^{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} u^{2}v + v^{2}u = 30\\u^{3} + v^{3} = 35 \end{array}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l}uv(u + v) = 30 \\(u + v)(u^{2} - uv + v^{2}) = 35 \end{array}[/tex] делим почленно второто на първото урабнение и получаваме:
[tex]\frac{u^{2} - uv + v^{2}}{uv}[/tex] = [tex]\frac{35}{30}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{u}{v}[/tex] - 1 + [tex]\frac{v}{u}[/tex] = [tex]\frac{7}{6}[/tex]
Полагам [tex]\frac{u}{v}[/tex] = t и получавам : t + [tex]\frac{1}{t}[/tex] - [tex]\frac{13}{6}[/tex] = 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 6[tex]t^{2}[/tex] -13t + 6 = 0 с корени [tex]t_{1 }[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex] и [tex]t_{2 }[/tex] = [tex]\frac{2}{3}[/tex]; Образувам системите:
1) [tex]\begin{array}{|l}\frac{u}{v} = \frac{2}{3} \\ uv(u + v) = 30 \end{array}[/tex] и 2)[tex]\begin{array}{|l}\frac{u}{v} = \frac{3}{2} \\uv(u + v) = 30 \end{array}[/tex]
1) [tex]\begin{array}{|l}u = \frac{2v}{3} \\\frac{2v}{3}.v(\frac{2v}{3} + v) = 30 \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{10v^{3}}{9}[/tex] = 30 или [tex]v^{3}[/tex] = 27 и v = 3,респективно u = 2 като върнем субституцията х = 4 ,y = 9;
Аналогично след решаване на втората система се получава v=2 и u = 3 и съответно х = 9 и y = 4
Отговорите са : ([tex]x_{1 }[/tex] = 4 ; [tex]y_{1 }[/tex] = 9) и ([tex]x_{2 }[/tex] = 9 ;[tex]y_{2 }[/tex]= 4)