Как се решава тази задача?

[Гост]

(x-4)[tex]\sqrt{x+4}[/tex] = x^{2} - 16

[Davids]

Развиваме дясната страна като формула $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ и така уравнението придобива вида:
$(x-4)\sqrt{x+4} = (x-4)(x+4) = (x-4)\sqrt{x+4}^2$
$(x-4)\sqrt{x+4}(1 - \sqrt{x+4}) = 0$

I) $x-4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$
II) $x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$
III) $1 - \sqrt{x+4} = 0$
$x + 4 = 1$
$x_3 = -3$

[Гост]

Развиваме дясната страна като формула $x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$ и така уравнението придобива вида:
$(x-4)\sqrt{x+4} = (x-4)(x+4) = (x-4)\sqrt{x+4}^2$
$(x-4)\sqrt{x+4}(1 - \sqrt{x+4}) = 0$

I) $x-4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$
II) $x+4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$
III) $1 - \sqrt{x+4} = 0$
$x + 4 = 1$
$x_3 = -3$

Сбъркал съм условието. (x-4)[tex]\sqrt{x-10}[/tex]=x^{2}-16

[S.B.]

Сбъркал съм условието. (x-4)[tex]\sqrt{x-10}[/tex]=x^{2}-16

Е,браво!
Д.М.:[tex](x + 4)(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x\in (-\infty,-4] \cup [4,+\infty)[/tex]
[tex]x - 10 \ge 0 \Rightarrow x\in [10,+ \infty)[/tex]
или Д.М. [tex]x \in [10,+\infty)[/tex]
[tex](x - 4)\sqrt{x - 10} = x^{2} - 16 \Leftrightarrow (x - 4)\sqrt{x - 10} = (x + 4)(x - 4) \Leftrightarrow (x - 4)\sqrt{x - 10} - (x - 4)(x + 4) \Leftrightarrow[/tex]
[tex](x - 4)[\sqrt{x - 10} - (x + 4)] = 0[/tex] получаваш [tex]x - 4 = 0[/tex] и [tex]\sqrt{x - 10} - (x + 4) = 0[/tex]
1) [tex]x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \notin Д.М.[/tex]
2)[tex]\sqrt{x - 10} - (x + 4) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 10} = x + 4[/tex] Повдигаш двете страни на втора степен и получаваш:
[tex]x - 10 = x^{2} +8x +16 \Leftrightarrow x^{2} + 7x +26 = 0 , D = - 55 < 0 \Rightarrow[/tex] няма реални корени.
Я погледни пак да не си сбъркал условието отново?

[Гост]

Сбъркал съм условието. (x-4)[tex]\sqrt{x-10}[/tex]=x^{2}-16

Е,браво!
Д.М.:[tex]x +4 \ge 0 ;x - 4 \ge 0; x - 10 \ge 0 \Rightarrow x\in [10,+\infty)[/tex]
[tex](x - 4)\sqrt{x - 10} = x^{2} - 16 \Leftrightarrow (x - 4)\sqrt{x - 10} = (x + 4)(x - 4) \Leftrightarrow (x - 4)\sqrt{x - 10} - (x - 4)(x + 4) \Leftrightarrow[/tex]
[tex](x - 4)[\sqrt{x - 10} - (x + 4)] = 0[/tex] получаваш [tex]x - 4 = 0[/tex] и [tex]\sqrt{x - 10} - (x + 4) = 0[/tex]
1) [tex]x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \notin Д.М.[/tex]
2)[tex]\sqrt{x - 10} - (x + 4) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 10} = x + 4[/tex] Повдигаш двете страни на втора степен и получаваш:
[tex]x - 10 = x^{2} +8x +16 \Leftrightarrow x^{2} + 7x +26 = 0 , D = - 55 < 0 \Rightarrow[/tex] няма реални корени.
Я погледни пак да не си сбъркал условието отново?

Оф, да под корена трябва да е x + 10.

[S.B.]

Оф, да под корена трябва да е x + 10.

Но това променя и други неща!!!!
[tex](x - 4)\sqrt{x + 10} = (x +4)(x - 4)[/tex]
Д.М.[tex](x + 4)(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x\in (-\infty , - 4]\cup[4 , + \infty)[/tex] ; [tex]x + 10 \ge 0 \Rightarrow x \ge -10[/tex]
Окончателно: Д.М.[tex]x \in [-10,-4]\cup[4,+ \infty)[/tex]
Вече знаеш как се процедира... и получаваш:[tex](x - 4)[\sqrt{x + 10} - (x + 4)] = 0[/tex]
1)[tex]x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \in Д.М.[/tex]
2)[tex]\sqrt{x + 10} = x + 4 \Leftrightarrow x + 10 = x^{2} + 8x + 16 \Leftrightarrow x^{2} + 7x +6 = 0 ,D = 25 ,x_{1 } = -1\notin Д.М. , x_{2 } = -6\in Д.М.[/tex]
Окончтелно корените са [tex]x_{1 } = 4,x_{2 } = -6[/tex]
Искрено се надявам да сме приключили с тази задача!

[Гост]

Оф, да под корена трябва да е x + 10.

Но това променя и други неща!!!!
[tex](x - 4)\sqrt{x + 10} = (x +4)(x - 4)[/tex]
Д.М.[tex](x + 4)(x - 4) \ge 0 \Rightarrow x\in (-\infty , - 4]\cup[4 , + \infty)[/tex] ; [tex]x + 10 \ge 0 \Rightarrow x \ge -10[/tex]
Окончателно: Д.М.[tex]x \in [-10,-4]\cup[4,+ \infty)[/tex]
Вече знаеш как се процедира... и получаваш:[tex](x - 4)[\sqrt{x + 10} - (x + 4)] = 0[/tex]
1)[tex]x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \in Д.М.[/tex]
2)[tex]\sqrt{x + 10} = x + 4 \Leftrightarrow x + 10 = x^{2} + 8x + 16 \Leftrightarrow x^{2} + 7x +6 = 0 ,D = 25 ,x_{1 } = -1\notin Д.М. , x_{2 } = -6\in Д.М.[/tex]
Окончтелно корените са [tex]x_{1 } = 4,x_{2 } = -6[/tex]
Искрено се надявам да сме приключили с тази задача!

Искренно се надяваш....... ама не сме.В решението ти има математическа грешка.При повдигането на квадрат на последното получено ирационално уравнение трябва да отчетем, че и двете страни на равенството са неотрицателни т.е [tex]x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4[/tex].
От тук следва, че полученото от теб [tex]x_{2 } = -6[/tex] не е решение.Освен това уравнението е дефинирано за [tex]x \ge -10[/tex] , а не както е написано, за [tex]x \in [-10,-4]\cup[4,+ \infty)[/tex] ,но това е само неправилно изразяване и не е проблем за решението на задачата.Би трябвало да се изразим например :
[tex]DM: x \ge -10[/tex] и задачата има смисъл при [tex]x^2-16 \ge 0 \Rightarrow x \in [-10,-4]\cup[4,+ \infty)[/tex] след първия етап от решението.След което преди да повдигнем на квадрат отчитаме ,че [tex]x+4 \ge 0 \Rightarrow x\in [-4] \cup [4; \infty)[/tex]
П.П. Не съм автора на задачата

[S.B.]

Искренно се надяваш....... ама не сме.В решението ти има математическа грешка.
П.П. Не съм автора на задачата

1)Грешката ми е ,че не съм направила проверка:
Ето я и нея:[tex](x -4)\sqrt{x + 10} = x^{2} -16[/tex] За [tex]x = -6[/tex] се получава:[tex](-6 - 4)\sqrt{- 6 + 10} \ne 36 - 16[/tex] защото [tex]-4.\sqrt{-6 + 10} \ne 20 \Leftrightarrow -10.2 \ne 20 \Rightarrow -6[/tex] не е корен;
2)Колкото до послеписа Ви,че не сте автор на задачата - в това съм сигурна,но също така съм сигурна,че Вие сте автор на всички промени в условието на задачата съответно:[tex]\sqrt{x + 4} \rightarrow \sqrt{x - 10}[/tex] и [tex]\sqrt{x - 10} \rightarrow \sqrt{x + 10}[/tex] направени за много кратко време, с единствена цел - да се изгаврите с този който е решил да помогне!Моята грешка е ,че се "вързах" въпреки,че бързах (тъй като освен форума имам и други ангажименти) и допуснах недовършена задача с което Ви дадох "хляб " за разсъждения.Вие от известно време се подвизавате в този форум,анонимно ,което е много лесно!Регистрирайте се и застанете зад някакво име - тогава решавайте задачи и критикувайте на воля и мен и другите колеги!Но както се досещате тогава и ние ще знаем на кого да отговорим,което на Вас явно не Ви харесва.