Триъгълник

[Гост]

Даден е триъгълник АBC - остроъгълен. Точка О център на описаната около него окръжност. Допирателната към окръжността - || АВ и [tex]\cap[/tex] АС и СВ в точките Х и У.
АУ [tex]\cap[/tex] AX в т. F. Докажете, че центърът на вписаната в триъгълник СТF окръжност принадлежи на описаната около триъгълник АВС окръжност.

[KOPMOPAH]

Може би $AY \cap BX$ в т.$ F$, а за т.$T$ пък няма никаква информация

[Knowledge Greedy]

Задача 2 от НОМ 2019 - областен кръг, за девети клас.

Даден е триъгълник [tex]\triangleАBC[/tex] - остроъгълен, [tex]AC\ne BC[/tex]. Точка [tex]O[/tex] e център на описаната около него окръжност. Около [tex]\triangle ABO[/tex] е описана втора окръжност [tex]k_1[/tex], към която е построена допирателна - успоредна на [tex]АВ[/tex] и пресичаща [tex]АС[/tex] и [tex]СВ[/tex] в точките [tex]Х[/tex] и [tex]У[/tex] - съответно. Допирната точка на тази допирателна с [tex]k_1[/tex] е точка [tex]T[/tex].Отсечките [tex]АУ[/tex] и [tex]BX[/tex] се пресичат в точка [tex]F[/tex].
Докажете, че центърът на вписаната в триъгълник [tex]\triangleСТF[/tex] окръжност принадлежи на описаната около триъгълник [tex]\triangleАВС[/tex]окръжност.

[KOPMOPAH]

НОМ 2019 - областен кръг, за девети клас.png (27.91 KiB) Прегледано 280 пъти

...към която е построена допирателна - успоредна на $AB$ и пресичаща $AC$ и $BC$ в точките $X$ и $Y$ - съответно. Допирната точка на тази допирателна с $k_1$ е точка $T$...

Могат да бъдат построени ДВЕ допирателни - една вътрешна за $\triangle ABC$ и обозначена на горния чертеж с $X_1Y_1$ и една външна за $\triangle ABC$, обозначена на горния чертеж с $XY$.

В първия случай т.$T$ СЪВПАДА с т.$O$, което не е споменато изрично и авторите на задачата са го оставили на досетливостта на решаващите. По-лошото е, че в този случай центърът на вписаната окръжност $I_1$ НЕ ПРИНАДЛЕЖИ на $k_1$ (видно от чертежа), което обезсмисля задачата.

Във втория случай допирателната пресича ПРОДЪЛЖЕНИЯТА на $AC$ и $BC$ и мисля, че е редно това да бъде посочено именно така в задачата, за да няма двусмисленост и неправилни чертежи и решения.

В заключение бих казал, че направих чертежа за двадесетина минути. Не знам дали е разрешено на състезанието участниците да ползват GeoGebra. Силно се съмнявам, че е възможно, а с използването на стандартните чертожни уреди вероятно би отнело доста време. Също така не виждам смисъл от ограничението за остроъгълността на $\triangle ABC$, тъй като твърдението е в сила и за тъпоъгълен триъгълник (виж чертежа по-долу). Единственото смислено в условието е $AC \ne BC$, тъй като при $AC=BC$ вписаните окръжности се израждат в точки.

НОМ 2019 - областен кръг, за девети клас-2.png (22.98 KiB) Прегледано 280 пъти