Четириъгълник

[Гост]

Точките М и P лежат на срещуположните страни АВ и CD на изпъкналия четириъгълник ABCD, като АМ:МВ=DP:PC=k и правите AD и BC се пресичат. Да се докаже, че правата MP образува с правите AD и BC равни ъгли тогава и дамо тогава, когато AD:ВС =k.

[123a]

Нека [tex]\angle[/tex]$AEM$=$\alpha$, $\angle$ $MEB$=$\beta$, $\angle$ $DPE$= $\varphi$

$\frac{S_{DPE}}{S_{PEC}}=\frac{EP.DP.sin\varphi}{EP.PC.sin(180-\varphi)}=k (*)$

От друга страна

$\frac{S_{DPE}}{S_{PEC}}=\frac{DE.EP.sin\alpha}{EP.EC.sin\beta}(**)$

Приравняваме $(*)$ и $(**)$ и получаваме $\frac{sin\alpha}{sin\beta}=k.\frac{EC}{ED}(***)$

След това имаме

$\frac{S_{AME}}{S_{MBE}}=\frac{AM}{MB}=k (1)$ и аналогично $\frac{S_{AME}}{S_{MBE}}=\frac{AE.sin\alpha}{EB.sin\beta}(2)$

Приравняваме $(1)$ и $(2)$ и получаваме $\frac{sin\alpha}{sin\beta}=k.\frac{EB}{EA}(3)$

От $(***)$ и $(3)$ следва, че $\frac{EC}{ED}=\frac{EB}{EA}<=>\frac{EC}{ED}=\frac{EC+BC}{AD+DE}<=>\frac{EC}{DE}=\frac{BC}{AD}$ и се връщаме в $(***)$

$\frac{sin\alpha}{sin\beta}=k.\frac{EC}{ED}=> \frac{sin\alpha}{sin\beta}=k.\frac{BC}{AD}$

По условие имаме $\frac{AD}{BC}=k=>\frac{BC}{AD}=\frac{1}{k}$

И така, очевидно правата $MP$ ще сключва равни ъгли с $AD$ и $BC$ тогава и само тогава, когато $\frac{AD}{BC}=k$, защото тогава $\frac{sin\alpha}{sin\beta}=k.\frac{BC}{AD}<=>\frac{sin\alpha}{sin\beta}=k.\frac{1}{k}=>\frac{sin\alpha}{sin\beta}=1=>sin\alpha=sin\beta=>\alpha=\beta$