Параметър

[Гост]

f(x)=x^2+(a+1)x-2 и g(x)=x^2+(a+b)x+1, a-параметър. Пресечните точки на f(x) с координатните оси определят триъгълник с лице Sf, a пресечните точки на g(x) с координатните оси определят триъгълник с лице Sg. Намерете а, ако Sf=Sg.

[Davids]

Какво знаем за $b$, откъде се появи? Поради изчислителното възпрепятствие ще го караме параметрично, като квадратна функция ще приемаме във вида $f(x) = Ax^2 + Bx + C$.
Така, за дадените триъгълници знаем, че лицата им са равни на половината от произведението на една страна (частта от абсцисата, която графиката на функцията затваря) и височината към нея (респективно частта от ординатата, която графиката на функцията затваря).
За височината $h_a$ на този триъгълник знаем, че $h_a = |f(0)| = |C|$.
За страната срещу тази височина съответно важи:
$a = |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{\frac{B^2}{A^2} - 4\frac{C}{A}}$

Следователно, ако в случая $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ и $g(x) = A_1x^2 + B_1x + C_1$, то за да намериш търсената стойност на $a$, ще трябва да решиш уравнението:
$|C|\sqrt{\frac{B^2}{A^2} - 4\frac{C}{A}} = |C_1|\sqrt{\frac{B_1^2}{A_1^2} - 4\frac{C_1}{A_1}} \Leftrightarrow C^2(\frac{B^2}{A^2} - 4\frac{C}{A}) = C_1^2(\frac{B_1^2}{A_1^2} - 4\frac{C_1}{A_1})$

Замествай и газ на решаването. Ако имаш затруднения, пиши за по-нататъшна асистенция

[Anubis]

Davids, може много по-лесно! Да разгледаме [tex]f(x)=x^2+(a+1)x-2[/tex]. Нейната графика ще има две пресечни точки с абсцисата при всяка стойност на параметъра. Да ги означим с [tex]\xi_{1}[/tex] и [tex]\xi_{2}[/tex]. Понеже пресечната точка с ординатата е [tex](0; \, -2)[/tex], то лицето на триъгълника, определен от пресечните точки на графиката с двете координатни оси, се пресмята така:

[tex]S_{f} = \frac{|\xi_{1}-\xi_{2}|}{2} \cdot 2 = |\xi_{1}-\xi_{2}| = \sqrt{(\xi_{1}-\xi_{2})^2} = \sqrt{\xi_{1}^2-2\xi_{1}\xi_{2}+\xi_{2}^2} =
\sqrt{(\xi_{1}+\xi_{2})^2-4\xi_{1}\xi_{2}}[/tex].

Но по формулите на Виет имаме [tex]\xi_{1}+\xi_{2} = -(a+1)[/tex] и [tex]\xi_{1}\xi_{2} = -2[/tex], откъдето [tex]S_{f} = \sqrt{(a+1)^2+8}[/tex].

Аналогично за лицето [tex]S_{g}[/tex] пресмятаме [tex]S_{g} = \frac{1}{2}\sqrt{(a+b)^2-4}[/tex]. Остава да се реши уравнението

[tex]2\sqrt{(a+1)^2+8} = \sqrt{(a+b)^2-4}[/tex].

Според мен числото b е въведено по погрешка. Трябва да е фиксирано.