Триъгълник

[Гост]

В триъгълник АВС ъглополовящата lc пресича АВ в точка М така че АМ=12, ВМ=3. През С и М е построена окръжност с център на правата АВ. Намерете диаметъра на тази окръжност. Отговор: 8 см.

[Davids]

От свойството на ъглополовящата знаем отношението на другите две страни, означаваме $AC = 4x, BC = x$. От формулата за дължина на ъглополовяща знаем, че $l^2 = AC.BC - AM.BM = 4x^2 - 36 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}(l^2 + 36)$.
Ще означим $\angle BMC = \varphi$.
От косинусова теорема за $\triangle BMC \Rightarrow cos\varphi = \frac{9 + l^2 - x^2}{2.3.l} = ... = \frac{l}{8}$ (след като заместим $x$).
Ако центърът на окръжността е $O \in AB$, то $OM = OC = R$. От синусова теорема за същия триъгълник имаме $\frac{R}{sin\varphi} = \frac{l}{sin(180°-2\varphi)}$. Изразяваме по формулата за двоен ъгъл, съкращаваме и получаваме:
$R = \frac{l}{2cos\varphi} = 4$, оттам и диаметърът е 8.

[Евва]

Направих си достоверен чертеж и имах достатъчно време да го разглеждам.
Щрак-светна идея,да докажа,че [tex]\triangle[/tex]ВОС (т.О е център на окръжност) е правоъгълен .
Не мога да го докажа ,но ако успеем,то решението ще е без тригонометрия.

От Davids [tex]СМ^{2}[/tex]=4[tex]x^{2}[/tex]-36 (1)

([tex]\triangle[/tex]МОС-правоъгълен) [tex]СМ^{2}[/tex]=[tex]R^{2}[/tex]+[tex]R^{2}[/tex] (2)

([tex]\triangle[/tex]ВОС-правоъгълен) [tex](R-3)^{2}[/tex]+[tex]R^{2}[/tex]=[tex]х^{2}[/tex] (3)

Решаваме системата от 3 ур-я и получаваме отговор [tex]R_{1 }[/tex]=4 см. ; [tex]R_{2 }[/tex]=0 отпада

Според моя чертеж означеният от Davids ъгъл [tex]\varphi[/tex]=45[tex]^\circ[/tex] и [tex]\triangle[/tex]ВОС[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]АОС

[S.B.]

Без заглавие (75).png (420.52 KiB) Прегледано 310 пъти

Направих си достоверен чертеж и имах достатъчно време да го разглеждам.
Щрак-светна идея,да докажа,че [tex]\triangle[/tex]ВОС (т.О е център на окръжност) е правоъгълен .
Не мога да го докажа ,но ако успеем,то решението ще е без тригонометрия.

Ето един съвсем достоверен чертеж,от който е видно,че $CM$ се вижда под $\frac{1}{2} \angle ACB$ .Има много такива триъгълници и т.$C$ се "движи" по окръжността - $C_{1 },C_{2 },C_{3 }.$...Там е и правоъгълния триъгълник $BOC_{1 }$(означен е със синьо) за който пише колежката Евва.

[Евва]

Моя чертеж не е такъв.Построих АМ=12 см.,ВМ=3 см.,ВО=1 см.,R=MO=CO=4см. и
([tex]\alpha[/tex]=15[tex]^\circ[/tex],[tex]\beta[/tex]=105[tex]^\circ[/tex],[tex]\gamma[/tex]=60[tex]^\circ[/tex])
15[tex]^\circ[/tex] ,75[tex]^\circ[/tex] и 90[tex]^\circ[/tex] са ъглите в [tex]\triangle[/tex]АОС и в [tex]\triangle[/tex]ВОС.

Скрит текст: покажи

Извинете ме,ако някъде греша.

Гост,има ли упътване към задачата ?

[S.B.]

Моя чертеж не е такъв.Построих АМ=12 см.,ВМ=3 см.,ВО=1 см.,R=MO=CO=4см. и
([tex]\alpha[/tex]=15[tex]^\circ[/tex],[tex]\beta[/tex]=105[tex]^\circ[/tex],[tex]\gamma[/tex]=60[tex]^\circ[/tex])
15[tex]^\circ[/tex] ,75[tex]^\circ[/tex] и 90[tex]^\circ[/tex] са ъглите в [tex]\triangle[/tex]АОС и в [tex]\triangle[/tex]ВОС.

Скрит текст: покажи

Извинете ме,ако някъде греша.

Уважаема колежке,ако си направите труда да преброите квадратчетете на мрежата,която умишлено съм оставила,ще се убедите,че $AM = 12$ кавадратчета,$BM = 3$ квадратчета,$OB= 1$ квадратче и $MO = MB + BO = 4$ квадратчета.Колкото до ъглите - в условието на задачата никъде не се споменава за тях.Те зависят от $\angle ACB$ и както се вижда на чертежа има много такива триъгълници.Върхът $C$ може да заема различни положения върху окръжността,в зависимост от големината на ъгъла срещу основата.