Намерете сбора на всички трицифрени числа с 0, 1, 2, 3, 4

[Гост]

Намерете сбора на всички трицифрени числа, които могат да се напишат с помощта на цифрите 0, 1 ,2 ,3 ,4.
Това не знам как да го реша... Броя на всички такива числа е 4.5.5=100, обаче как да им намера сбора?

[Sup3rlum]

Добре може да пробваме по 3 цифри наведнъж:

$xyz$
$xzy$
$yxz$
$yzx$
$zyx$
$zxy$

Ако ги съберем виждаме, че за единиците, десетиците и стотиците получаваме $2(x+y+z)$
$\Rightarrow 2(x+y+z)+20(x+y+z)+200(x+y+z)=222(x+y+z)$
сега неподредените комбинации от 3 цифри (без нула) са:

$1,2,3 \Rightarrow 222*(1+2+3) = 1332$
$1,2,4 \Rightarrow 222*(1+2+4) = 1554$
$2,3,4 \Rightarrow 222*(2+3+4) = 1998$
$1,3,4 \Rightarrow 222*(1+3+4) = 1776$

Сега ако имаме нула е подобно:
$xy0$
$x0y$
$yx0$
$y0x$

$\Rightarrow (x+y)+10(x+y)+200(x+y) = 211*(x+y)$

За тройките които включват 0:

$0,1,2 \Rightarrow 211(1+2) = 633$
$0,2,3 \Rightarrow 211(2+3) = 1055$
$0,3,4 \Rightarrow 211(3+4) = 1477$
$0,1,3 \Rightarrow 211(1+3) = 844$
$0,1,4 \Rightarrow 211(1+4) = 1055$
$0,2,4 \Rightarrow 211(2+4) = 1266$

Събираме всичко:
$633+1055+1477+844+1055+1266+1332+1554+1998+1776=\boxed{12990}$

Надявам се да не съм изпуснал нещо

[Петър Евгениев]

Ако искаме да намерим сумата на примерно: [tex]123+124+120[/tex]. Можем да го обощим така да кажем.
[tex]1.100+2.10+3+1.100+2.10+4+1.100+2.10+0=(1+1+1)100+(2+2+2).10+3+4+0=3.100+6.10+7=367[/tex]
И наистина [tex]123+124+120=367[/tex]
Така генерализирахме решение за намиране на сбора.
Търсим сбора на всички числа от вида [tex]\overline{abc}[/tex], съставени от [tex]0,1,2,3,4[/tex], като е ясно, че [tex]b,c \in[0,1,2,3,4], a\in [1,2,3,4][/tex]
При всеки избор на [tex]a[/tex] присъства в [tex]5.5=25[/tex] числа.([tex]\underline{a}.\underline{5}.\underline{5}[/tex]) Тоест има [tex]5.5=25[/tex] различни трицифрени числа започващи с [tex]1[/tex], започващи с [tex]2[/tex] и т.н.
Тоест сбора на [tex]a[/tex]-тата или стотиците във всички числа е [tex](1+2+3+4).25=250 \Rightarrow \Sigma a=250[/tex]

При всеки избор на [tex]b[/tex] присъства в [tex]5.4=20[/tex] числа. ([tex]\underline{4}. \underline{b}. \underline{5}[/tex] -защото за [tex]a[/tex] имаме 4 избора за [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex] по 5. Тоест има 20 трицифрени числа, които имат втора цифра 0, 1 ,2 ,3 или 4.
Същото е и за [tex]c[/tex] тъй като [tex]b,c \in [0,1,2,3,4][/tex] Тоест сборовете на (цифрите на)[tex]b[/tex]-тата и [tex]c[/tex]-тата( на десетиците и на стотиците е: [tex](0+1+2+3+4).20[/tex] за цифрите на десетиците и [tex](0+1+2+3+4).20=200[/tex] за цифрите на единиците. [tex]\Rightarrow \Sigma b=\Sigma c=200[/tex]
Тогава [tex]\Sigma \overline{abc}=250.100+200.10+200=27200[/tex]