Естествени числа

[Гост]

За естествените числа М и N е известно, че М се дели на всички естествени числа от 1 до N, но не се дели на N+1, N+2, N+3. Да се намерят всички възможни стойности на N.

[Гост]

1,2,6

[pal702004]

Едното (поне) от тези 3 числа: $N+1,N+2,N+3$ е четно. Нека то е равно на $L\cdot 2^k$, където $L$ е нечетно.
Ако $L>1$, то М се дели на $L<N$, дели се на $2^k<N$, а следователно се дели и на $L\cdot 2^k$ - не се изпълнява условието.
Следователно четното число трябва да е степен на 2.
Едно от тези три числа се дели на 3, с аналогични разсъждения стигаме до извода, че то трябва да е степен на 3.

Няма да се спирам подробно на уравненията $2^x-3^y=\pm 1$ - сами по себе си интересни, но достатъчно известни. Така че

$N\in \{1,2,6\}$