Подобни триъгълници

[Гост]

Даден е триъгълник ABC и точка М върху АС. През М са построени прави, успоредни на медианите АА1 и СС1, които пресичат страните ВС и АВ в точки P и Q. Докажете, че медианите АА1 и СС1 делят PQ на три равни части.

Моля за малко помощ, защото не се сещам как да реша тази задача.

[Knowledge Greedy]

Въвеждаме означения както на чертежа, като [tex]AC=b[/tex], но [tex]AB=2c[/tex] и [tex]BC=2a[/tex].

Подвижната точка М.png (11.53 KiB) Прегледано 245 пъти

Нека точката [tex]M[/tex] върху [tex]AB[/tex] я дели в отношение [tex]AM:MB=x:(1-x)[/tex][tex]\,\ (\ast)[/tex]
Ще предложа оформяне на решението с приложения на теоремата на Талес.
За ъгъл [tex]\angle ACB[/tex] и двойката успоредни [tex]MQ\left | \right |AA_1[/tex] споменатото по-горе отношение [tex]\,\ (\ast)[/tex] се пренася върху лъча [tex]AB^{\rightarrow}[/tex], а именно [tex]CQ:QA_1=(1-x):x[/tex] (На чертежа отсечките са означени с абсолютните си дължини, по отношение на половината страна [tex]BC[/tex], [tex](BC=2a)[/tex]).

Второ прилагане на теоремата на Талес - този път за [tex]\angle BAC[/tex] и двойката успоредни [tex]MP\left | \right |CC_1[/tex], дава
A[tex]P:PC_1=x:(1-x)[/tex]

Налага се и трети Талес - за [tex]\angle ABC[/tex] и двойката успоредни [tex]QN\left | \right |CC_1[/tex], където [tex]N \in BA^{\rightarrow}[/tex].
Ясно е защо - намираме извънредно важната частица [tex]C_1N[/tex] - с помощта на отношението [tex]C_1N:NB=CQ:QB[/tex].


Вече се вижда, че [tex]PL:LQ=PC_1:C_1N=c(1-x):\frac{c(1-x)}{2}=2:1[/tex] - това вече е ефект от четвъртото прилагане на теоремата на Талес (coup de grâce ) - за ъгъл [tex]\angle BPQ[/tex] и двойката успоредни [tex]QN\left | \right |LC_1[/tex].

Не е излишно да споменем, че останалата част става напълно аналогично. Но това ще оставим на любознателният гост, задал въпроса