Тест 1 върху темата "Матрични зависимости между отсечки"

[Гост]

1задача
Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 см и 10 см. Колко см е радиусът на описаната около триъгълника окръжност?

2задача
CD е височина към хипотенузата AB на правоъгълния триъгълник ABC. Ако AD е 36 съм и BD е 64 см, колко е дължината на катета AC в см?

3задача
Лицето на равнобедрен триъгълник с дължини на бедрото и на основата съответно 5 см и 2 см е?

4 задача
Основата и бедрото на равнобедрен триъгълник са съответно 12 см и 10 см. Колко е радиусът на описаната му окръжност?

5задача
Окръжност с радиус 6 см е вписана в равнобедрен трапец, малката основа на който е равна на 4 см. Намерете лицето на трапеца.

[KOPMOPAH]

1задача
Катетите на правоъгълен триъгълник са 6 см и 10 см. Колко см е радиусът на описаната около триъгълника окръжност?

Радиусът на описаната около триъгълника окръжност е равен на половината хипотенуза, а тя от своя страна е равна на корен квадратен от сумата на квадратите на катетите (според някой си Питагор).

2задача
CD е височина към хипотенузата AB на правоъгълния триъгълник ABC. Ако AD е 36 съм и BD е 64 см, колко е дължината на катета AC в см?

Според метричните зависимости $AC^2=AD.AB=AD(AD+BD)=...$, всичко е известно - заместваш и готово!

3задача
Лицето на равнобедрен триъгълник с дължини на бедрото и на основата съответно 5 см и 2 см е?

Когато са известни трите страни на триъгълника, обикновено се използва Херонова формула за лице. Ако не сте я учили - използваш Питагорова теорема за триъгълник, съставен от бедро, височина и половин основа. С намиране на височината е ясно и намирането на лицето. Остава въпросът къде тук са метричните зависимости...

4 задача
Основата и бедрото на равнобедрен триъгълник са съответно 12 см и 10 см. Колко е радиусът на описаната му окръжност?

Намираш лицето (примерно както в трета задача), а после и радиуса $R$ от формулата: $$S=\frac {abc}{4R}$$

[S.B.]

Без заглавие (66).png (466.48 KiB) Прегледано 2862 пъти

Искам само да допълня отговора на уважавания от мен (и от всички нас!) колега KOPMOPAH с чертеж и някои допълнения към решенията на задачи 3 и 4 ,както и решението на задача 5.

3.Задача :
Използването на " метричните зависимости между отсечки" се състои в намирането на $CH$ от правоъгълния [tex]\triangle BCH : CH^{2} = BC^{2} : BH^{2}[/tex] според Питагор, останалото - намирането на лицето е според KOPMOPAH : $ S = \frac{AB.CH}{2}$

4.Задача :
Вие сте в 9 клас и не сте чували нито за Херон,нито знаете формулата за лице на триъгълник в която фигурира $R$.За сметка на това сте изучавали вписани в окръжност ъгли и "метрични зависимости между отсечки"!
На чертежа който съм приложила:От правоъгълния $\triangle CHB $ според Питагор намираш височината $CH = 8$.Разглеждаш $\triangle C_{1 }BC$ където $CC_{1 }$ е диаметър и $\angle CBC_{1 } = 90^\circ$ , тогава за правоъгълния $\triangle CBC_{1 }$ имаш : $HB \bot CC_{1 }, CH + HC_{1 } = 2R$ и според Питагор $BH^{2} = CH.(2R - CH) \Leftrightarrow 6^{2} = 8.(2R - 8)$ от където се получава $R$

5.Задача : Означаваш $AD = BC = x, AB = y$
Понеже в трапеца има ВПИСАНА окръжност то $ AD + BC = AB + CD \Rightarrow 2x = 4 + y$
Идва ред на " метричните зависимости" : $CH \bot AB ,CH = 2r = 12,BH = \frac{AB - CD}{2} = \frac{y - 4}{2}$ за правоъгълния $\triangle BCH$ прилагаш Питагор : $ BC^{2} = CH^{2} + BH^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 12^{2} + (\frac{y - 4}{2})^{2}$ Образуваш системата:
[tex]\begin{array}{|l} 2x = y + 4 \\ x^{2} = 144 +\displaystyle \frac{(y - 4)^{2}}{4} \end{array}[/tex]

[S.B.]

намирането на $CH$ от правоъгълния [tex]\triangle BCH : CH^{2} = BC^{2} : BH^{2}[/tex] според Питагор

Допуснала съм грешка при редактирането в 3.Задача: Да се чете: [tex]CH^{2} = BC^{2} - BH^{2}[/tex]
Моля за извинение!!!