Задача с метрични зависимости и питагорова т.

[Гост]

Катетите на правоъгълен триъгълник са а= 6см и b= 8см. Намерете ъглополовящите му.

[S.B.]

Без заглавие (88).png (292.2 KiB) Прегледано 529 пъти

Катетите на правоъгълен триъгълник са а= 6см и b= 8см. Намерете ъглополовящите му.

Нека $AC = 6,BC= 8$

Скрит текст: покажи

Обърнала съм чертежа ,вместо a = 6,b = 8 съм означила a= 8,b = 6,което не е от голямо значение ако следиш чертежа

По Питагор :[tex]AB = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10[/tex]
1)Ъглополовящата $AA_{1 }$:
От Свойството на ъглополовящите :$\frac{CA_{1 }}{BA_{1 }} = \frac{CA}{AB} \Leftrightarrow \frac{CA_{1 }}{BA_{1 }} = \frac{6}{10}\Rightarrow CA_{1 } = 3x,BA_{1 } = 5x$
$3x + 5x = 8 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow BA_{1 } = 5,CA_{1 } = 3$
От $\triangle ACA_{1 } ,AA_{1 }$ - хипотенуза , по Питагор , намираш $AA_{1 } = \sqrt{36 + 9 } = 3\sqrt{5}$
2) Ъглополовяща $B_{1 }B$ :
$\frac{CB_{1 }}{AB_{1 }} = \frac{CB}{AB} \Leftrightarrow\frac{CB_{1 }}{AB_{1 }} = \frac{8}{10} \Rightarrow CB_{1 } = 4x , AB_{1 } = 5x \Rightarrow 9x = 6 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
$CB_{1 } = 4x = 4.\frac{2}{3} = \frac{8}{3} , AB_{1 } = 5x = \frac{10}{3}$
От правоъгълния триъгълник $BCB_{1 }$ по Питагор : $ BB_{1 } = \sqrt{64 + \frac{64}{9}} = \frac{8}{3}\sqrt{10}$
3)Ъглополовящата $CC_{1 }$:
т.$C_{1 }$ принадлежи на ъглополовящата $\Rightarrow$ разстоянията й до раменете на $\angle ACB $ са равни и $ C_{1 } M = C_{1 }N = x$
$S_{ABC } = S_{ACC_{1 } } + S_{BCC_{1 } } \Leftrightarrow 24 = \frac{6x}{2} + \frac{8x}{2} \Leftrightarrow 7x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{7}$
$MCNC_{1 }$ е квадрат (правоъгълник с равни съседни страни), тогава от $\triangle NCC_{1 }$ по Питагор намираме, $CC_{1 } = \frac{24\sqrt{2}}{7}$