Метрични зависимости, търсене на радиус

[Гост]

Периметърът на равнобедрен триъгълник е 16см, а височниата към основата е 4см. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност

[S.B.]

Без заглавие (13).png (208.77 KiB) Прегледано 371 пъти

Периметърът на равнобедрен триъгълник е 16см, а височниата към основата е 4см. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност

От [tex]\triangle ONC\rightarrow OC^{2} - ON^{2} = CN^{2} \Leftrightarrow (4 - r)^{2} - r^{2} = (8 - 2x)^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 8x + 2r + 12 = 0[/tex]
[tex]\triangle ONC\approx \triangle HBC \rightarrow \frac{CN}{CH} = \frac{ON}{BH } \Leftrightarrow \frac{8 - 2x}{4} = \frac{r}{x} \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 2r = 0[/tex]
Образуваш система:
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} - 8x + 2r + 12 = 0\\ x^{2} - 4x + 2r = 0 \end{array}[/tex]
Изваждаш почленно и получаваш:$4x = 12 \Rightarrow x = 3$ заместваш и получаваш :$$r = \frac{3}{2}$$

[Гост]

Защо MA = AH = HB = BN = x и защо CN = 8-2x

[S.B.]

Защо MA = AH = HB = BN = x и защо CN = 8-2x

1. [tex]MA = AH = HB = BN = x[/tex] защото са допирателни от външна точка към окръжността :
От т. $A \rightarrow AH = AM$ и от т. $B \rightarrow BH = BN$ от друга страна $ AH = HB$ защото триъгълникът е равнобедрен и $CH$ се явява и медиана и ъглополовяща.Център $O \in CH$ защото $CH$ e ъглополовяща.Белязала съм ги с $x$ защото са неизвестни.
2.$ P_{ABC } = AB + AC + BC = 16 \Leftrightarrow AB + AM + MC + BN + NC = 2x + x + MC + x + NC = 16$
$ \Rightarrow MC + NC = 16 - 4x$, но $MC = NC$ като допирателни към окръжността от външна точка $C$
$\Rightarrow 2NC = 16 - 4x \Leftrightarrow NC = 8 - 2x$

[Гост]

Мерси много!