Метрични зависимости, Трапец

[Гост]

Основите на трапеца са a и b, а бедрото му е c. Ако диагоналите му са взаимноперпендикулярни, докачете, че 2c^2 = a^2 + b^2

[S.B.]

Без заглавие (94).png (195.86 KiB) Прегледано 784 пъти

Основите на трапеца са a и b, а бедрото му е c. Ако диагоналите му са взаимноперпендикулярни, докачете, че 2c^2 = a^2 + b^2

Тъй като никъде не е упоменато,че става въпрос за равнобедрен трапец,аз ще разгледам случай на трапец ,който не е равнобедрен, с бедра $ c,c_{1 }$ и диагонали $d_{1 },d_{2 }$
По означенията на чертежа:
От [tex]\triangle AOB \rightarrow a^{2} = x^{2} + (d_{2 } - y)^{2} ; \triangle DOC \rightarrow b^{2 } = y^{2} + (d_{1 } - x)^{2}[/tex] ( по Питагор)

От [tex]\triangle AOD \rightarrow c^{2} = x^{2} + y^{2} ; \triangle BOC \rightarrow c_{1 }^{2} = (d_{1 } - x)^{2} + (d_{2 } - y)^{2}[/tex] (по Питагор)

[tex]a^{2} + b^{2} = x^{2} + y^{2} + (d_{1 } - x)^{2} + (d_{2 } - y)^{2} = c^{2} + c_{1 }^{2}[/tex]

Получи се за неравнобедрен трапец :$a^{2} + b^{2} = c^{2} + c_{1 }^{2}$

За равнобедрен трапец при $c = c_{1 } $ $\Rightarrow$ $$a^{2} + b^{2} = 2c^{2}$$