Метрични зависимости, Трапец

[Гост]

В равнобедрен трапец диагоналът е перпендикулярен на бедрото. Докажете, че разликата от квадратите на основите е 4 пъти по-голяма от квадрата на височината.

[Евва]

ABCD-равнобедрен трапец ,СН-височина на трапеца ,[tex]\angle[/tex]АСВ=90[tex]^\circ[/tex]
Нека АВ=а ,CD=b ,CH=h ,[tex]\angle[/tex]BAC=[tex]\alpha[/tex]
([tex]\triangle[/tex]ABC[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]HBC-1 признак) [tex]\frac{AB}{BC}[/tex]=[tex]\frac{BC}{\frac{AB-CD}{2}}[/tex] т.е. [tex]\frac{a}{BC}[/tex]=[tex]\frac{2BC}{a-b}[/tex]

a(a-b)=2[tex]BC^{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]a^{2}[/tex]-ab=2[ [tex]h^{2}[/tex]+([tex]\frac{a-b}{2})^{2}[/tex] ]

[tex]a^{2}[/tex]-ab=2[tex]h^{2}[/tex]+[tex]\frac{a^{2}-2ab+b^{2}}{2}[/tex] |.2

2[tex]a^{2}[/tex]-2ab-[tex]a^{2}[/tex]-[tex]b^{2}[/tex]+2ab=4[tex]h^{2}[/tex]

[tex]a^{2}[/tex]-[tex]b^{2}[/tex]=4[tex]h^{2}[/tex]