Равнобедрен трапец

[Гост]

В равнобедрен трапец е вписана окръжност. Средната му отсечка е 5 cm и го дели на две части с лица S1 и S2, като S1 : S2 = 7 : 13. Намерете височината на трапеца

[Davids]

В равнобедрен трапец е вписана окръжност. Средната му отсечка е 5 cm и го дели на две части с лица S1 и S2, като S1 : S2 = 7 : 13. Намерете височината на трапеца

Трапецът е описан, значи сборът на бедрата е равен на сбора от основите, който е 10 заради дадената средна отсечка (MN например). Оттам бедрото също е 5. Горната основа ще кръстим $b$, респективно долната ще е $10 - b$. Височината на целия трапец ще кръстим $h$. Правим формула за двете лица:
$S_{MNCD} = \frac{5 + b}{2}.\frac{h}{2}$
$S_{ABNM} = \frac{5 + 10 - b}{2}.\frac{h}{2}$

$\frac{S_{MNCD}}{S_{ABNM}} = \frac{\frac{h(5 + b)}{4}}{\frac{h(15 - b)}{4}} = \frac{7}{13} = \frac{5 + b}{15 - b}$

$\Rightarrow 105 - 7b = 65 + 13b$
$20b = 40$
$b = 2$

Следователно $a = 8$. Височината ще намерим по потагорова теорема с класическите построения:
$h^2 = 25 - 9 = 16$
$\Rightarrow \boxed{h = 4}$

[Гост]

Мерси много!