Трапец

[Гост]

Бедрото на един равнобедрен трапец е 30 см, а основата му - 48. Пресметнете радиусите на вписаната и описаната окръжност и разстоянието d между техните центрове.

[S.B.]

Без заглавие (54).png (343.35 KiB) Прегледано 283 пъти

Бедрото на един равнобедрен трапец е 30 см, а основата му - 48. Пресметнете радиусите на вписаната и описаната окръжност и разстоянието d между техните центрове.

Щом в трапеца може да се впише окръжност , то [tex]AB + CD = AD + BC \Leftrightarrow 48 + CD = 60 \Rightarrow CD = 12[/tex]

$DH\bot AB , CK\bot AB \Rightarrow AH = BK = \frac{48 - 12}{2} = 18$

От $\triangle CKB \rightarrow CK = \sqrt{BC^{2} - BK^{2}} = \sqrt{30^{2} - 18^{2}} = 24, r = 12 , \frac{CH}{CD} = sin\alpha \Leftrightarrow sin\alpha = \frac{4}{5}$
От $\triangle AKC \rightarrow AC = \sqrt{AK^{2} + KC^{2}} = \sqrt{30^{2} + 24^{2}} = 6\sqrt{41}$
За $\triangle ABC$ прилагам синусова теорема : $\displaystyle \frac{AC}{sin\alpha} = 2R\Leftrightarrow \displaystyle\frac{6\sqrt{41}}{\displaystyle\frac{4}{5}} = 2R \Rightarrow R = \frac{15\sqrt{41}}{4}$
$J$ - център на вписаната окръжност ,пресечна точка на ъглополовящите,трапецът е равнобедрен лесно се доказва,че $J$ принадлежи на симетралата $JS$ на $AB$
$O$ - център на описаната окръжност $\Rightarrow O$ принадлежи на симетралата $JS$ на $AB$
$d = JO = JS - OS = r - OS$
От $\triangle OSB \rightarrow OS = \sqrt{OB^{2} - SB^{2}} = \sqrt{R^{2} - 24^{2}} = \sqrt{\frac{9225 - 9216}{16}} = \frac{3}{4}$
$d = r - \frac{3}{4} = 12 - \frac{3}{4} = 11\frac{1}{4} = 11,25$