Триъгълник и трапец

[Гост]

Точките M и N са средите на бедрата AD и BC на трапеца ABCD ,AB>DC и O=ACnBD.Ако PQ е средната основа на трапеца MNCD и O€PQ,докажете,че AB=3CD

[Евва]

Реших я чрез едно допълнително построяване .
Наистина AB=3CD

[Евва]

Нека т.E и т.F са среди на отс.AM и BN .Построяваме EF-средна отсечка на трапеца ABNM .
Нека АС пресича MN и EF съответно в т.[tex]М_{1 }[/tex] и в т.[tex]Е_{1 }[/tex] ,а BD пресича MN и EF съответно в т.[tex]N_{1 }[/tex] и в т.[tex]F_{1 }[/tex] .
______________________________________________________________________________________________

Отбелязваме E[tex]E_{1 }[/tex]=b,като използваме правилото за средни отсечки получаваме: M[tex]M_{1 }[/tex]=2b ,PO=3b ,CD=4b .

Знаейки CD=4b (1) намираме N[tex]N_{1 }[/tex]=2b ,F[tex]F_{1 }[/tex]=b ,OQ=3b .

Отбелязваме [tex]M_{1 }[/tex][tex]N_{1 }[/tex]=a ,като използваме правилото за средни отсечки получаваме: [tex]E_{1 }[/tex][tex]F_{1 }[/tex]=2a ,AB=3a (2)
Знаем,че MN=[tex]\frac{AB+CD}{2}[/tex] т.е. 2b+a+2b=[tex]\frac{3a+4b}{2}[/tex] ... 4b=a

Получихме CD=a (3) ( виж (1) )

От (2) и (3) [tex]\Rightarrow[/tex] AB=3CD