системи уравнения от втора степен с две неизвестни

[Гост]

Здравейте, задачите са от 9 клас
Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Задача $208.$
$$\begin{array}{|l} x^2 + 3xy+y^2 = 5 \\ 2x^2 -xy+y^2 = 2 \end{array}$$
Изваждаме първото уравнение от второто и получаваме:$$x^2 -4xy = -3\Rightarrow y=\red{\frac{x^2+3}{4x}}$$
Заместваме в първото уравнение $y$ с $\frac{x^2+3}{4x}$ и получаваме:$$x^2 + 3x.\frac{x^2+3}{4x}+\left(\frac{x^2+3}{4x}\right)^2=5$$
Преработваме:$$x^2 + 3\cancel{x}.\frac{x^2+3}{4\cancel{x}}+\frac{x^4+6x^2+9}{16x^2}=5$$ $$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$$ и стигаме до уравнението:$$29x^4-38x^2+9=0$$Полагаме $x^2=u$ и решаваме квадратното уравнение $$29u^2-38u+9=0$$Неговите корени са $u_1=1$ и $u_2=\frac 9{29} $ $\Rightarrow x_{1,2}=\pm 1,~ x_{3,4}=\pm \frac{3\sqrt{29}}{29}$

Замествайки в израза за $y$ получаваме четирите решения на системата

Задача $209.$
$$\begin{array}{|l} x^2 + xy+y^2 = 3 \\ 2x^2 +xy+y^2 = 4 \end{array}$$
Тук е по-лесно - изваждаме първото уравнение от второто и получаваме:$$x^2= 1\Rightarrow x=\pm 1$$
Разглеждаме два случая:
$1.$ $x=-1$.
Заместваме в първото уравнение $x=-1$ и получаваме:$$2 -y+y^2=4$$Решавайки това уравнение, получаваме $y_1=2$, $y_2=-1$
Получихме две двойки решения - $(-1,-1)$ и $(-1,2)$.
Сега следва
$2.$ $x=1$.
Пак заместваме в първото уравнение $x=1$ и получаваме квадратно уравнение спрямо $y$.
Ако го решим, ще получим другите две решения $y_3=-2$, $y_4=1$ и, съответно, другите две решения на системата - $(1,-2)$ и $(1,1)$

[S.B.]

И още един поглед върху този вид системи

Зад.208:
Очевидно е,че $x = 0 , y = 0$ не е решение на системата.
Изнасям $y^{2}$ пред скоби и в двете уравнения:
[tex]\begin{array}{|l} x^{2} + 3xy + y^{2} = 5\\2x^{2} - xy + y^{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y^{2}(\displaystyle(\frac{x}{y})^{2} + 3\frac{x}{y} + 1) = 5 \\ y^{2}(2\displaystyle(\frac{x}{y})^{2} - \frac{x}{y} + 1) = 2 \end{array}[/tex]

Полагам $\frac{x}{y} = k$ , деля почленно двете уравнения и получавам :
$\frac{k^{2} + 3k + 1}{2k^{2} - k + 1} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 8k^{2} - 11k + 3 = 0 ,k_{1 } = 1 , k_{2 } = \frac{3}{8}$
Получих за $k = \frac{x}{y}$ стойностите $\frac{x}{y} = 1$ и $\frac{x}{y} = \frac{3}{8}$
Сега вече образувам 2 нови (по-лесни ) системи за $x$ и $y$:
$\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = 1 \\ x^{2} + 3xy + y^{2} = 5 \end{array}$ и $ \begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = \frac{3}{8} \\ x^{2} + 3xy + y^{2} = 5\end{array}$

$\begin{array}{|l} x = y \\ x^{2} + 3xy + y^{2} = 5 \end{array}$ и $ \begin{array}{|l} x = \displaystyle\frac{3}{8}y \\x^{2} + 3xy + y^{2} = 5 \end{array}$
Тези две системи се решават чрез заместване
За съставянето на новите системи получените стойности за $k = \frac{x}{y}$ се комбинират с едно от уравненията на първоначалната система ( по избор).

Задача 209 се решава аналогично по същият метод.

[Гост]

Благодаря много!