Система за корените на две квадратни уравнения

[Гост]

Нека $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ са корените на уравнението $x^2+px+q=0$. Да се намерят числата $p$ и $q$, ако е известно, че $x_1+1$ и $x_2+1$ са корените на уравнението $x^2-p^2x+pq=0$.

$x_1$ и $x_2$ удовлетворяват:
$$\begin{cases} x_1+x_2=-p \\ x_1x_2=q \end{cases},$$
а $x_1+1$ и $x_2+1$ удовлетворяват:
$$\begin{cases} (x_1+x_2)+2=p^2 \\ x_1x_2+(x_1+x_2)+1=pq \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-p+2=p^2\\q-p+1=pq \end{cases}$$

Оттук получавам $(p=-2,q=-1)$ и $(p=1,q)$ за $\forall q$. В сборника отговорите са: $(-2;-1)$ и $(1;q \le \dfrac{1}{4})$. Откъде идва това ограничение за $q$?

[simona_ovcharova]

Щом $x_1$ и $x_2$ са реални корени, дискриминантата $D \ge 0$. Ако $p=1$, $D=1-4q \ge 0,$ т.е. $q \le \dfrac{1}{4}$. При $p=-2$ и $q=-1$ уравнението изглежда така:
$$x^2-2x-1=0, D=2>0.$$

[Добромир Глухаров]

Доколкото знам, в девети клас още не се учат комплексни числа. Затова искаме корените на двете уравнения да са реални, т.е. дискриминантите да са неотрицателни. $D=p^2-4q\geq0;D'=(-p^2)^2-4pq\geq0$. Намерили сме $p=1\Rightarrow1-4q\geq0\wedge1-4q\geq0\Rightarrow q\leq\frac{1}{4}$.

[simona_ovcharova]

Доколкото знам, в девети клас още не се учат комплексни числа. Затова искаме корените на двете уравнения да са реални, т.е. дискриминантите да са неотрицателни. $D=p^2-4q\geq0;D'=(-p^2)^2-4pq\geq0$. Намерили сме $p=1\Rightarrow1-4q\geq0\wedge1-4q\geq0\Rightarrow q\leq\frac{1}{4}$.

И аз съм в $9$ клас и не учим комплексни числа. Аз наложих само дискриминантата $D$ на $x^2+px+q=0$ да бъде по-голяма или равна на $0$, което означава, че $x_1$ и $x_2$ са реални корени (числа). Можем ли да твърдим, че щом $x_1,x_2 \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x_{1,2}+1 \in \mathbb{R}$? Имам предвид нужно ли е да се отбелязва, че и $p^4-4pq \ge 0$? Щом $D$ на $x^2+px+q=0$ е по-голяма или равна на $0$, $x_1$ и $x_2$ са реални числа, но и $x_1+1$ и $x_2+1$ ще са реални числа. Това са корените на $x^2-p^2x+pq=0$. Щом те съществуват в множеството на реалните числа, следва че $D'>0$.

[Добромир Глухаров]

Доколкото знам, в девети клас още не се учат комплексни числа. Затова искаме корените на двете уравнения да са реални, т.е. дискриминантите да са неотрицателни. $D=p^2-4q\geq0;D'=(-p^2)^2-4pq\geq0$. Намерили сме $p=1\Rightarrow1-4q\geq0\wedge1-4q\geq0\Rightarrow q\leq\frac{1}{4}$.

И аз съм в $9$ клас и не учим комплексни числа. Аз наложих само дискриминантата $D$ на $x^2+px+q=0$ да бъде по-голяма или равна на $0$, което означава, че $x_1$ и $x_2$ са реални корени (числа). Можем ли да твърдим, че щом $x_1,x_2 \in \mathbb{R} \Leftrightarrow x_{1,2}+1 \in \mathbb{R}$? Имам предвид нужно ли е да се отбелязва, че и $p^4-4pq \ge 0$? Щом $D$ на $x^2+px+q=0$ е по-голяма или равна на $0$, $x_1$ и $x_2$ са реални числа, но и $x_1+1$ и $x_2+1$ ще са реални числа. Това са корените на $x^2-p^2x+pq=0$. Щом те съществуват в множеството на реалните числа, следва че $D'>0$.

Съвсем правилно разсъждение!