Моделиране със системи уравнения от втора степен с две не.

[Гост]

В две училища на състезание се явили общо 108 ученици.В едното училище раздали по 1 лист по-малко на ученик ,отколкото в другото.По този начин във всяко от училищата раздали по 240 листа.Колко ученици са се явили на състезанието във всяко училище?

[ptj]

Нещо не съм съгласен с заглавието,
по подходящо е "Диофантови уравнения от първа степен с две неизвестни".

Нека в първото училище са се явили на състезание [tex]x[/tex] ученици и са им били раздадени по [tex]y[/tex] листа.
([tex]x,y\in N[/tex]; [tex]y\ge2[/tex]; [tex]1\le x \le 107[/tex])

Без загуба на общност може да считаме, че в това училище са раздавани по-малко листове
(иначе ще сменим местата на получените отговори).

Тогава

[tex]xy+(108-x)(y-1)=240[/tex]

[tex]108y+x=348[/tex]

[tex]x=348-108y[/tex]

[tex]1\le348-108y\le 107[/tex]

[tex]-1\ge -348+108y\ge- 107[/tex]

[tex]347\ge 108y \ge 231[/tex]

[tex]3\frac{23}{108}=\frac{347}{108}\ge y\ge\frac{231}{107}=2\frac{15}{108}[/tex]

T.e. единствената възможност е [tex]y=3 \Rightarrow x=24[/tex]

Участниците са 24 и 84, а съответно раздадените им листове са по 3 и по 2.

П.П. Задачата може да се решава още в 7-ми клас (да не кажа 6-ти).

[Евва]

Съставих система от 3 уравнения с 3 неизвестни .
Получих 60 и 48 ученици .

[ptj]

Благодаря на Ева, за забележката.
Наистина, не съм прочел правилно последното изречение (още от ученик бях разсеян).

Ще се получи системата:
[tex]xy=(108-x)(y-1)=240[/tex]
--------------------------------------------------------------------------------------

По принцип може да се реши и без да се знаят квадратни уравнения, използвайки само съображения от делимост.

[S.B.]

Без заглавие (92).png (248.75 KiB) Прегледано 1140 пъти

В две училища на състезание се явили общо 108 ученици.В едното училище раздали по 1 лист по-малко на ученик ,отколкото в другото.По този начин във всяко от училищата раздали по 240 листа.Колко ученици са се явили на състезанието във всяко училище?

[tex]\begin{array}{|l} x + y = 108 \\ \displaystyle\frac{240}{x} = \displaystyle\frac{240}{y} - 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = 108 - x \\ 240(y - x) + xy = 0 \end{array} \Leftrightarrow 240(108 - 2x) + x(108 - x) = 0[/tex]
$x^{2} + 372x - 25920 = 0 ,D = 242064 , \sqrt{D} = 492 ,x_{1,2 } = \frac{-372 \pm 492}{2} , x_{1 } = 60 ,x_{2 } < 0$
Отговор : Първо училище $60$ ученика,раздадени по $4$ листа; Второ училище $48$ ученика ,раздадени по $5$ листа.

[simona_ovcharova]

Без заглавие (92).png

В две училища на състезание се явили общо 108 ученици.В едното училище раздали по 1 лист по-малко на ученик ,отколкото в другото.По този начин във всяко от училищата раздали по 240 листа.Колко ученици са се явили на състезанието във всяко училище?

[tex]\begin{array}{|l} x + y = 108 \\ \displaystyle\frac{240}{x} = \displaystyle\frac{240}{y} - 1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} y = 108 - x \\ 240(y - x) + xy = 0 \end{array} \Leftrightarrow 240(108 - 2x) + x(108 - x) = 0[/tex]
$x^{2} + 372x - 25920 = 0 ,D = 242064 , \sqrt{D} = 492 ,x_{1,2 } = \frac{-372 \pm 492}{2} , x_{1 } = 60 ,x_{2 } < 0$
Отговор : Първо училище $60$ ученика,раздадени по $4$ листа; Второ училище $48$ ученика ,раздадени по $5$ листа.

Още веднъж супер решение на S.B.! Бих искала да направя коментар по решението на квадратното уравнение, което се получава за $x$. Можем да забележим, че $372$ и $25920$ се делят на $12$, защото се делят на $3$ и $4$. Затова, ако съм на контролно или на изпит и не мога да използвам калкулатор, бих разделила цялото уравнение на $12$, за да избегна смятането с големи числа. Получаваме: $\dfrac{1}{12}x^2+31x-2160=0, D=31^2-4\cdot\dfrac{1}{12}\cdot(-2160)=961+720=1681=41^2$. И корените са: $x_1=\dfrac{-31-41}{\frac{1}{6}}=-432$ и $x_2=\dfrac{-31+41}{\frac{1}{6}}=60$, като първият корен $x_1$ не е необходимо изобщо да се смята, ако преди това сме определили и записали дефиниционното множество на $x$.

[ptj]

Да продължим с :

[tex]xy=(108-x)(y-1)=240[/tex]

[tex]240=2^4.3.5[/tex]

Делители на 240 са : 1,2,3,4,5,8,10,12,15,16,20,24,30,32,40,48, 60,120,240.

За да бъдат [tex]x[/tex] и [tex](108-x)[/tex] делители на 240 единствента възможност е те да са 48 и 60 или обратното.

Всъщност търсим от дясно на ляво по-малък делител от 108 , но не по-малък от [tex]\frac{108}{2}=54[/tex], и гледаме дали разликата му до 108 е също делител. Единствения кандидат е 60, т.е. [tex]60=max(x;108-x)[/tex].

От [tex]y>y-1\Rightarrow (108-x)>x[/tex], т.е. [tex]x=48[/tex]



съответно [tex]y=5[/tex].


Явилите се ученица са 48 и 60, а съответно раздадените им листове по 5 и по 4.

П.П. Материала е за 7-ми клас.

[S.B.]

П.П. Материала е за 7-ми клас.

Уважаеми колега ptj!Пак не улучихте!Материала е за 9 клас - сътавяне (моделиране) на система от 2 уравнения с 2 неизвестни,която води до решаване на уравнение от втора степен,а МЕТОДА който използвате е ДЕЛИМОСТ който се изучава в 6 клас, но не по този начин.
Искам да Ви кажа,че методиката на математиката е точна и стриктна наука ,почти толкова ,колкото е и самата математика.Аз съм изучавала в университета (СУ,факултет по математика и механика) и методика на математиката и педагогика и психология наравно с материала по математика,но като преподавател съм работила само 5 години.През останалия ми трудов стаж програмирах на PL/I под виртуален ОС.Това кога даден материал се изучава и по какъв начин е поднесен , трябваше да разбера САМА , за което имах СЕРИОЗНИ ПРИЧИНИ,които не бих обсъждала тук и с Вас.Искам само да Ви кажа,че за да решиш една задача примерно за 9 клас ще трябва да се водиш стриктно от методическите изисквания за съответния клас и да забравиш всичко онова което знаеш извън материала за този клас.
Преподаването не е толкова просто,колкото си го представяте,уважаеми колега!

[ptj]

Далече съм от мисълта, че редови осмокласник извън МГ може да я реши. Но за талантливите деца, ходещи на състезания е напълно възможно да я решат и в по-ранна възраст. Пиша нестандартни решения основно заради тях. Даже и [tex]\frac{1}{1000}[/tex] да е шанса някой ученик да го разбере, пак не бих го сменил с традиционните обяснения.