Теорема на Талес

[Гост]

Здравейте,

взехме теоремата на Талес, но честно казано ми е малко объркано в главата. Най-важното, което мисля, че трябва да запомня е теоремата, която е обобщение на правата и обратната теорема на Талес: успоредни прави отсичат от две дадени прави пропорционални отсечки.

Нека имаме * $\angle pOq$, $a\parallel b,a \cap Op = A, b \cap Op=A_1, a \cap Oq=B, b\cap Oq=B_1$.

Thales's theorem.png (218.88 KiB) Прегледано 6594 пъти

Това, което знаем директно от приложението на теоремата на Талес, е, че $\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{BB_1}{AA_1}$ (тоест, че отсечките, които двете успоредни прави отсичат от двата произволни лъча, са пропорционални). В учебника ми са дали още $1)\dfrac{AB}{A_1B_1}=\dfrac{OA}{OA_1}=\dfrac{OB}{OB_1}$ и $2) \dfrac{AA_1}{OA_1}=\dfrac{BB_1}{OB_1}$. Ще съм много благодарна, ако ми обясните как намесваме $AB$ и $A_1B_1$ в отношенията и как получаваме останалите?
*успоредните прави $a,b$ пресичат лъчите (а не правите) $Op, Oq$ в съответните точки, но не знам как се означава лъч тук

[Гост]

Подобни триъгълници.

[Гост]

Подобни триъгълници.

Теоремата на Талес се взема преди подобни триъгълници.

[ptj]

Другия вариант за доказателство е чрез вектори.

[Гост]

Другия вариант за доказателство е чрез вектори.

И как? Може ли да видим?

[ptj]

[tex]\vec {OA}=\vec {a}[/tex]
[tex]\vec{OB}=\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}[/tex]

[tex]AB \parallel A_1B_1 \Leftrightarrow \vec {A_1B_1}=k.\vec{AB}[/tex]

[tex]\vec{OB_1}-\vec{OA_1}=\vec {A_1B_1}=k.\vec{AB}=k.(\vec{a}-\vec{b})=k.\vec{b}-k.\vec{a}[/tex]

[tex]\vec{OB_1} \parallel \vec{OB} \Leftrightarrow \vec{OB_1}=l.\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{OA_1} \parallel {OA} \Leftrightarrow \vec{OA_1}=m.\vec{a}[/tex]

[tex]\vec{OB_1}-\vec{OA_1}-k.\vec{b}-k.\vec{a}=\vec{0}[/tex]



[tex](l-k)\vec{b}+(k-m)\vec{a}=\vec{0}[/tex]

Понеже горните два вектора са неколинеарни, то единсвената възможност е и двата да са нулеви, т.е.

[tex](l-k)\vec{b}=(k-m)\vec{a}=\vec{0}[/tex]

Но [tex]|\vec{a}|\ne0\ne|\vec{b}|[/tex], сл. [tex]l=k=m[/tex]

От [tex]\vec{OB_1}=k.\vec{b}\Rightarrow \vec{BB_1}=\vec{OB_1}-\vec{OB}=k.\vec{b}-\vec{b}=(k-1)\vec{b}[/tex]

Аналогично [tex]\vec {AA_1}=(k-1)\vec{a}[/tex]

Понеже [tex]\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}=\frac{k.|\vec{a}|}{k.|\vec{b}|}=\frac{(k-1)|\vec{a}|}{(k-1)|\vec{b}|}[/tex], то

[tex]\frac{OA}{OB}=\frac{OA_1}{OB_1}=\frac{AA_1}{BB_1}[/tex]

С това теоремата е доказана.

-----------------------------------------------------------------------

Косвено получихме :

1.)[tex]OA:OA_1:AA_1=OB:OB_1:BB_1=1:k:(k-1)[/tex], което показва как могат да се прехвърлят съотношения от една права на друга (в задачи).

2.)[tex]A_1B_1:AB=OA_1:OA=OB_1:OB=k:1[/tex], т.е. страните на двата триъгълника са пропроционални.
Ако се добави едно малко доказателство, че три страни определят еднозначно триъгълник, се получава точно теоремата за подобни триъгълници.

П.П. Можеx да съкратя няколко реда от доказателството с изполването на :
"Всеки вектор в равнината се изразява по един единствен начин чрез кои да е два неколинерни ненулеви вектори, лежащи в нея."
Но се съмнявам той да присъства в масовите учебници...

[KOPMOPAH]

[tex]\vec {OA}=\vec {a}[/tex]
[tex]\vec{OB}=\vec{b}[/tex]
[tex]\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}[/tex]...

Поздравления за наистина доброто обяснение!

Супер.gif (8.21 KiB) Прегледано 6527 пъти