Решете системите

[Гост]

Условието на задачата е-решете системите:
[tex]\begin{array}{|l} 4x^{2} - 2xy+y^{2} = 4 \\ y^{2} -xy=2 \end{array}[/tex]


\begin{array}{|l}3x^{2}-2xy+y^{2}=11 \\ 5x^{2}-4xy+y^{2}=5 \end{array}

[Davids]

Условието на задачата е-решете системите:
[tex]\begin{array}{|l} 4x^{2} - 2xy+y^{2} = 4 \\ y^{2} -xy=2 \end{array}[/tex]

Умножаваме долното уравнение по две, за да получим отново 4, тогава важи:
$4x^2 - 2xy + y^2 = 2y^2 - 2xy$
$4x^2 = y^2$
$\Rightarrow y = \pm 2x$

Разглеждаме двата случая в системата:
I) $\begin{array}{|l} y = 2x \\ y^2 - xy = 2 \end{array}$
$\Rightarrow 4x^2 - 2x^2 = 2$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1 \Rightarrow y = \pm 1$

II) $\begin{array}{|l} y = -2x \\ y^2 - xy = 2 \end{array}$
$\Rightarrow 4x^2 + 2x^2 = 2$
$x^2 = \frac{1}{3}$
$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow y = \mp \frac{\sqrt{3}}{3}$

С това получихме четирите двойки решения: $(1, 1), (-1, -1), (\frac{\sqrt{3}}{3}; -\frac{\sqrt{3}}{3}), (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

[S.B.]

Условието на задачата е-решете системите:


$\begin{array}{|l}3x^{2}-2xy+y^{2}=11 \\ 5x^{2}-4xy+y^{2}=5 \end{array}$

[tex]x=0 y=o[/tex] не е решение ,нека $y\ne0$
[tex]\begin{array}{|l} y^{2}(3\displaystyle\frac{x^{2}}{y^{2}} - 2\displaystyle\frac{x}{y} + 1) = 11\\ y^{2}(5\displaystyle\frac{x^{2}}{y^{2}} - 4\displaystyle\frac{x}{y} + 1) = 5 \end{array}[/tex]
Полагаш $\frac{x}{y} = k$ и делиш почленно:
$\frac{y^{2}(3k^{2} - 2k + 1)}{y^{2}(5k^{2} - 4k +1)} = \frac{11}{5} \Leftrightarrow 5(3k^{2} - 2k + 1) = 11(5k^{2} - 4k + 1)\Leftrightarrow$
$20k^{2} - 17k + 3=0 , D = 49 , k_{1,2 } = \frac{17 \pm 7}{40} ,k_{1 } = \frac{3}{5} ,k_{2 } = \frac{1}{4}$

Връщаш субституцията и получаваш :$k_{1 } = \frac{x}{y} = \frac{3}{5} , k_{2 } = \frac{x}{y} = \frac{1}{4}$

Като комбинираш с едно от уравненията в системата (по избор) получаваш две по- лесни системи:
[tex]\begin{array}{|l}\displaystyle \frac{x}{y} = \displaystyle\frac{3}{5}\\ 5x^{2} - 4xy + y^{2} = 5 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} \displaystyle\frac{x}{y} = \frac{1}{4} \\ 5x^{2} - 4xy + y^{2} = 5\end{array}[/tex]
1)$\begin{array}{|l} x =\displaystyle \frac{3}{5}y \\ 5x^{2} - 4xy + y^{2} = 5\end{array} \Leftrightarrow 2y^{2} = 25 \Rightarrow y_{1,2 } = \pm\displaystyle\frac{5\sqrt{x}}{2} , x_{1,2 } = \pm\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}$

2)$\begin{array}{|l} x = \displaystyle\frac{y}{4} \\ 5x^{2} - 4xy + y^{2} = 5 \end{array} \Leftrightarrow \displaystyle\frac{5y^{2}}{16} = 5 \Rightarrow y_{3,4 } = \pm 4 , x_{3,4 } = \pm 1$

[ptj]

Davids, блееш повече от мен!

Вярно си намерил само стойностите за [tex]x[/tex].
Всеки от [tex]y[/tex]-те ти трябва да е точно два пъти по-голям.

[Davids]

Davids, блееш повече от мен!

Вярно си намерил само стойностите за [tex]x[/tex].
Всеки от [tex]y[/tex]-те ти трябва да е точно два пъти по-голям.

Прав си, блея яко... Да кажем, че съм оставил пробойна за мислещия ученик, който не ще препише буквално решението ми, а ще си го прегледа и сам и ще забележи очевидната грешка!