Теорема на Талес

[Гост]

Даден е успоредник $ABCD$, точка $Q$ е от диагонала $AC$, като $AQ:QC=1:3$. Правата $DQ$ пресича страната $AB$ и правата $BC$ съответно в точките $M$ и $P$. Да се намерят отношенията $AM:MB,BC:PC$ и $DM:QP$.

Screenshot_7.png (47.61 KiB) Прегледано 417 пъти

Опитвам се да реша задачата с теорема на Талес. За първото отношение, ако разгледаме $\angle DQC$ или $\angle MQA$, от ТТ имаме $\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{QM}{QD}=\dfrac{AM}{CD}=\dfrac{1}{3}$. Не мога да кажа, че разбирам защо отношенията са точно така, но от следствията от теоремата, които има в моя учебник разбрах, че тръгвам от върха на ъгъла до краищата на едното рамо, след това на другото и така. Оттук получавам, че $AM:MB=1:2$. За второто отношение разглеждам $\angle CPD$, рамената на който са пресечени с успоредните прави $AB \parallel CD$. Получавам $BC:PC=1:3$. Как мога да намеря третото отношение?

П.П. Ще съм много благодарна, ако някой може да ми обясни подробно, защо отношенията, които съм написала, са точно по този начин, и как мога да се сещам какво да правя в такива ситуации. Благодаря предварително!

[simona_ovcharova]

От $CD=AB$ и $AC$ и $DP$ пресечени с $AM \parallel CD$, по теоремата имаме, че $\dfrac{MQ}{DQ}=\dfrac{MA}{CD}=\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{1}{3}$. Тогава $AM:AB=1:3$ и следователно $AM:MB=1:2$, защото $M \in AB$. От $BC=AD$ и $AC$ и $DP$ пресечени с $CP \parallel AD$, по теоремата имаме, че $\dfrac{AD}{PC}=\dfrac{AQ}{QC}=\dfrac{DQ}{QP}=\dfrac{1}{3}$. Тогава $BC:PC=1:3$. От двете пропорции последователно можем да получим: $MQ=\dfrac{1}{3}DQ\Rightarrow DM=DQ+QM=\dfrac{4}{3}DQ$ и $PQ=3DQ$. Отношението $DM:QP=4:9$.