Доказване на равенство с теорема на Талес

[Меди]

Права минава през средата на страната $AB$ на $\triangle ABC$ и пресича лъчите $CA$ и $CB$ съответно в точките $M$ и $N$. Докажете, че $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}=2$.

144-05.png (226.97 KiB) Прегледано 692 пъти

Трябва да реша задачата с теорема на Талес, а от условието нямаме дадени успоредни прави и трябва да се съобрази какво допълнително построение е удачно да се направи. Аз лично се опитах да построя през т. $M$ права $a$, успоредна на $AB$. Обосновката ми за това е, че раменете на $\angle DCM$, където $D=а\cap BC$, се пресичат от успоредните прави $AB$ и $MD$ и от директно приложение на теоремата получаваме, че $\color{green}{\dfrac{CA}{CM}}\color{black}{=\dfrac{CB}{CD}}=\dfrac{AB}{MD}$. Може ли малко насоки?

[Knowledge Greedy]

Построяваме [tex]AQ[/tex] успоредна на [tex]MN[/tex] през точката [tex]A[/tex]. Нека точката [tex]Q[/tex] е от [tex]CB[/tex].
Явно [tex]\frac{CA}{CM}=\frac{CQ}{CN}[/tex] (Коя е теоремата на Талес в случая?)
Освен това [tex]N[/tex] се оказва среда на [tex]BQ[/tex] - ето друга теорема на Талес (но може и със средна отсечка на триъгълника [tex]\triangle AQB[/tex]).
Накрая, нека заместим в доказваното равенство [tex]\frac{CA}{CM}[/tex] с [tex]\frac{CQ}{CN}[/tex], а числителите на двете дроби с равни знаменатели
[tex]\frac{CQ}{CN}+\frac{CB}{CN}[/tex] съответно с [tex]CN-NQ[/tex] и [tex]CN+NB[/tex]
В полученото
[tex]\frac{CN-NQ}{CN}+\frac{CN+NB}{CN}[/tex]
…
прилагаме подчертаното по-горе.

[ptj]

Ако наистина задачата е за състезания, то са позволени всякакви методи на решаване.
Един възможен е "вектори и неопределени коефициенти".
Довечера ще напиша решението.

[Меди]

Построяваме [tex]AQ[/tex] успоредна на [tex]MN[/tex] през точката [tex]A[/tex]. Нека точката [tex]Q[/tex] е от [tex]CB[/tex].
Явно [tex]\frac{CA}{CM}=\frac{CQ}{CN}[/tex] (Коя е теоремата на Талес в случая?)
Освен това [tex]N[/tex] се оказва среда на [tex]BQ[/tex] - ето друга теорема на Талес (но може и със средна отсечка на триъгълника [tex]\triangle AQB[/tex]).
Накрая, нека заместим в доказваното равенство [tex]\frac{CA}{CM}[/tex] с [tex]\frac{CQ}{CN}[/tex], а числителите на двете дроби с равни знаменатели
[tex]\frac{CQ}{CN}+\frac{CB}{CN}[/tex] съответно с [tex]CN-NQ[/tex] и [tex]CN+NB[/tex]
В полученото
[tex]\frac{CN-NQ}{CN}+\frac{CN+NB}{CN}[/tex]
…
прилагаме подчертаното по-горе.

Ето го чертежа след допълнителното построение (правата $AQ$, успоредна на $MN$):

144-05.png (238.2 KiB) Прегледано 672 пъти

Ъгълът, за който прилагаме теоремата на Талес, е $\angle MCN$ (а за това, че $N$ е среда на $BQ$, можем да разгледаме $\angle ABQ$). Може ли да ви попитам как се сетихте да построите точно тази права и през точно тази точка? Има ли нещо в конфигурацията и условието на задачата, което трябва да ми подскаже в такава ситуация какво да построя?

Ако наистина задачата е за състезания, то са позволени всякакви методи на решаване.
Един възможен е "вектори и неопределени коефициенти".
Довечера ще напиша решението.

Ще ми е наистина интересно да видя и решение с вектори, които почти бях забравил.

[ptj]

[tex]\vec{CA}=\vec a[/tex]

[tex]\vec{CB}=\vec b[/tex]

[tex]\vec{CP}=\frac{1}{2}\vec a +\frac{1}{2}\vec b[/tex]

[tex]\vec{CN}=k.\vec b[/tex]

[tex]\vec {CM}=l.\vec a[/tex]

[tex]\vec{PN}=\vec{CN}-\vec{CP}=\frac{2k-1}{2}\vec a-\frac{1}{2}\vec b[/tex]

[tex]\vec{PM}=\vec{CM}-\vec{CP}=- \frac{1}{2}\vec a+\frac{2l-1}{2}\vec b[/tex]

[tex]\vec {PM} \parallel \vec PN \Leftrightarrow \frac{2k-1}{2}:\frac{-1}{2} = \frac{-1}{2}:\frac{2l-1}{2}\Leftrightarrow 2k-1=\frac{1}{2l-1} \Leftrightarrow k=\frac{l}{2l-1}[/tex]

(Последния ред можеше доста по-бързо да го получим с Теорема на Менелай, но аз ви обещах решение с вектори.)

[tex]\frac{CA}{CM}+\frac{CB}{CN}=\frac{1}{k}+\frac{1}{l}=\frac{2l-1}{l}+\frac{1}{l}=2[/tex]

[Евва]

Разглеждах втория чертеж и ми хрумна да построя отсечка ТВ||MN (т.Т лежи на правата АС )
(Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]ABQ и отс. PN ) PN||AQ , т.Р е среда на АВ [tex]\Rightarrow[/tex] PN е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ABQ [tex]\Rightarrow[/tex]
т.N е среда на отс.BQ
(Разглеждаме TBQA -трапец и отс.MN ) MN||основите ,т.N е среда на отс.BQ [tex]\Rightarrow[/tex] MN e средна отсечка на трапеца TBQA
________________________________________________________________________________________________________________________
Тогава [tex]\frac{TB+AQ}{2}[/tex]=MN ; [tex]\frac{TB+AQ}{MN}[/tex]=2

[tex]\frac{AQ}{MN}[/tex]+[tex]\frac{TB}{MN}[/tex]=2 (сега-Талес)

[tex]\frac{CA}{CM}[/tex]+[tex]\frac{CB}{CN}[/tex]=2

[Евва]

Хрумна ми да използвам средни отсечки ,защото видях двойката в условието .