Намиране на отношение на отсечки с теорема на Талес

[Меди]

Върху страната $AB$ на успоредника $ABCD$ е взета точката $M$ така, че $AM=mAB$. Правата, минаваща през точката $B$ и успоредна на $AC$, пресича правите $DM$ и $DC$ съответно в точките $N$ и $P$. Намерете отношението $NP:AC$.

144-6.png (224.02 KiB) Прегледано 407 пъти

Може ли някакви насоки?

[KOPMOPAH]

Продължи $AD$ до пресичането ѝ с правата през $B$. Нека това е т. $Q$. Тогава $QP=2AC$, $QN=mQP$... и т.н.

[Меди]

Продължи $AD$ до пресичането ѝ с правата през $B$. Нека това е т. $Q$. Тогава $QP=2AC$, $QN=mQP$... и т.н.

144-06.png (232.04 KiB) Прегледано 381 пъти

Получаваме успоредниците $QBCA$ и $ABPC$ и от свойствата им имаме, че $BQ=AC,BP=AC\Rightarrow AC=BQ=BP$. Тогава разбирам защо $QP=QB+BP=AC+AC=2AC$. Бихте ли ми обяснили как получаваме, че $QN=mQP$?

[KOPMOPAH]

Намиране на отношение на отсечки с теорема на Талес.png (103.7 KiB) Прегледано 344 пъти

По-добре става така:

$\triangle AMS \approx \triangle CDS \Rightarrow {AS \over SC}={AM \over CD} \Rightarrow {AS \over SC}={m\cancel{AB} \over \cancel{AB}}=m$

Прибавяме $1$ от двете страни: ${AS \over SC}+1=m+1,~~{{AC+SC} \over SC}=m+1\Rightarrow AC=SC(m+1)$

Като вземем предвид, че $NP=2SC$, получаваме $AC= {NP \over 2}(m+1)\Rightarrow {NP \over AC}={2 \over {(m+1)}}$

Скрит текст: покажи

... т.е. може и без теорема на Талес

[Меди]

Намиране на отношение на отсечки с теорема на Талес.png

По-добре става така:

$\triangle AMS \approx \triangle CDS \Rightarrow {AS \over SC}={AM \over CD} \Rightarrow {AS \over SC}={m\cancel{AB} \over \cancel{AB}}=m$

Прибавяме $1$ от двете страни: ${AS \over SC}+1=m+1,~~{{AC+SC} \over SC}=m+1\Rightarrow AC=SC(m+1)$

Като вземем предвид, че $NP=2SC$, получаваме $AC= {NP \over 2}(m+1)\Rightarrow {NP \over AC}={2 \over {(m+1)}}$

Скрит текст: покажи

... т.е. може и без теорема на Талес

Ако разгледаме $\angle ASM=\angle CSD$, пресечен с успоредните прави $AB$ и $CD$, от теоремата на Талес можем да запишем отношението $\dfrac{AS}{SC}=\dfrac{AM}{CD}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{mAB}{AB}=m$. Въпреки че все още не сме взели подобни триъгълници, забелязвам, че много често те са еквивалентни на приложение на теорема на Талес (това, което знам за тях, е, че страните им са съответно пропорционални). Откъде идва идеята да прибавим $1$ към двете страни? Как се доказва, че $NP=2SC$?

Предполагам, че при набирането сте допуснали грешка в знаменателя на лявата страна на второто равенство след прибавянето на $1$: ${AS \over SC}+1=m+1,~~{{\color{green}{AS}\color{black}{+SC}} \over SC}=m+1\Rightarrow AC=SC(m+1)$.

[ptj]

Няма грешка.

Ако ти е дадено [tex]AS:SC=m:1[/tex], то [tex]AC:SC=(AS+SC):SC=(m+1):1[/tex].

П.П. Правилно си забелязал, че в подобните триъгълници съответните линейни елементи са пропроционални.
Задачите с тях са малко по-общи, защото подобните триъгълници могат и да нямат успоредни съответни страни, докато за задачите с Теорема на Талес това е задължително.

[KOPMOPAH]

Откъде идва идеята да прибавим $1$ към двете страни?

Търсих да получа $AC$ в числителя.
Между другото, този похват с прибавянето или изваждането на единица често се използва в планиметрията и стереометрията.

Как се доказва, че $NP=2SC$?

В триъгълника $\triangle PND$ $SC$ се явява средна отсечка, защото минава през средата на страната $PD~(PC=CD)$ и $SC ||NP$.

[Меди]

Благодаря ви за разяснението! Аз представих $1=\dfrac{SC}{SC}$, което мисля, че също е възможен вариант, за да получим $AC=SC(m+1)$. За доказателството на това, че $SC$ е средна отсечка в $\triangle PND$, теорема на Талес за $\angle DPQ$ ли е най-бързият вариант? T.e., $\dfrac{PC}{CD}=\dfrac{PB}{BQ}=1:1$ (заради успоредниците получаваме, че $QB=AC=BP$)