Въпрос относно обратната теорема на Талес

[Меди]

Въпросът ми се породи от тази задача, която все още не съм решил. Опитах се да обобщя въпроса си, излизайки от рамката на конкретната задача, и затова нека разгледаме следния чертеж:

geogebra-export.png (203.28 KiB) Прегледано 769 пъти

Интересува ни дали правите $p_1$ и $p_2$ са успоредни (нямаме това по условие!). Необходимо и достатъчно условие ли е $\dfrac{OP_1}{OP}=\dfrac{OQ_1}{OQ}$?

П.П. За да стане по-ясно - имам предвид дали обратната теорема на Талес ни позволява да заключим, че правите са успоредни, ако въпросното отношение по-горе е изпълнено. Под "обратна теорема на Талес" сезирам следното твърдение: ако две или повече прави отсичат от две дадени пресичащи се прави пропорционални отсечки, то тези прави са успоредни; две или повече прави са успоредни тогава и само тогава, когато отсичат от две дадени прави пропорционални отсечки.

[ptj]

Можеш да го докажеш с вектори на един ред.

[Меди]

Разбрах, че обратната теорема на Талес ни позволява да кажем, че правите $p_1$ и $p_2$ са успоредни. Нека да я формулирам по по-добър начин, който е значително по-ясен според мен от този, който цитирах от учебника си в публикацията. Нека правите $a$ и $b$ се пресичат в точка $O$ и правите $p_1$ и $p_2$ пресичат $a$ и $b$ съответно в точки $Q_1, P_1$ и $Q,P$. Ако $\dfrac{OP_1}{OP}=\dfrac{OQ_1}{OQ}$, то $p_1 \parallel p_2 $.

За доказателството допуснах, че $p_1 \nparallel p_2$. През точката $Q_1$ построяваме единствената права $Q_1H \parallel PQ (H \in b, H \ne P_1)$. От теоремата на Талес следва, че $\dfrac{OP}{OQ}=\dfrac{OH}{OQ_1}$, откъдето $OH=\dfrac{OP\cdot OQ_1}{OQ}$. Но по условие $\dfrac{OP_1}{OP}=\dfrac{OQ_1}{OQ}$, откъдето $OP_1=\dfrac{OP\cdot OQ_1}{OQ}$. Тогава $OP_1=OH$ и $P_1 \equiv H$, което е противоречие с условието, че $ H \ne P_1$. Следователно $p_1 \parallel p_2$.

Можеш да го докажеш с вектори на един ред.

Ще може ли да напишете как трябва да започна, защото така и не можах да съумея да разбирам кога е удачно да се използват вектори? Ще трябва да порешавам задачи с тях, когато имам време.

[ptj]

Всички задачи за теорема на Талес могат да се решават с вектори.

[tex]\frac{OP}{OP_1}=\frac{OQ}{OQ_1}=k[/tex]

[tex]\vec{OP}=k.\vec{OP_1}[/tex]

[tex]\vec{OQ}=k.\vec{OQ_1}[/tex]

[tex]\vec{QP}=\vec{OP}-\vec{OQ}=k.\vec{OP_1}-k.\vec{OQ_1}=k.\vec{Q_1P_1}\Rightarrow QP \parallel Q_1P_1[/tex]

[Меди]

Всички задачи за теорема на Талес могат да се решават с вектори.

[tex]\frac{OP}{OP_1}=\frac{OQ}{OQ_1}=k[/tex]

[tex]\vec{OP}=k.\vec{OP_1}[/tex]

[tex]\vec{OQ}=k.\vec{OQ_1}[/tex]

[tex]\vec{QP}=\vec{OP}-\vec{OQ}=k.\vec{OP_1}-k.\vec{OQ_1}=k.\vec{Q_1P_1}\Rightarrow QP \parallel Q_1P_1[/tex]

Благодаря ви за отговора! Опитвам се да приложа същия начин, който показахте, за да се убедя, че в следната ситуация:

Screenshot_10.png (11.52 KiB) Прегледано 659 пъти

$\dfrac{OC}{CD}=\dfrac{OA}{AB}=k$ е необходимо и достатъчно условие, за да твърдим, че $m \parallel n$.

$\vec{OC}=k.\vec{CD}$

$\vec{OA}=k.\vec{AB}$

$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=k.\vec{CD}-k.\vec{AB}=k(\vec{CD}-\vec{AB})$. Различен ли трябва да ми е подходът в тази ситуация?

[ptj]

Трябва ти да получиш изразяване на [tex]\vec{BD}[/tex].

Може да стане по два начина ...

П.П. За да не ти е трудно, първо го изрази чрез сбор на вектори - тръгваш от B и по кой да е път стигаш до D .

[Меди]

Трябва ти да получиш изразяване на [tex]\vec{BD}[/tex].

Може да стане по два начина ...

П.П. За да не ти е трудно, първо го изрази чрез сбор на вектори - тръгваш от B и по кой да е път стигаш до D .

Не съм сигурен, че разбирам идеята тук, съжалявам. Това са двата начина, по които мога да изразя вектора $\vec{BD}$:

$\vec{BD}=\vec{BO}+\vec{OD}$
$\vec{BD}=\vec{OD}-\vec{OB}$

[ptj]

О.К. Това е първия начин. Изрази сега [tex]\vec{OB}[/tex] чрез [tex]\vec{OА}[/tex], както и [tex]\vec{OD}[/tex] чрез [tex]\vec {OC}[/tex].

Втория начин е [tex]\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AC}+\vec{CD}[/tex].


Без значение кой начин ще избереш, изразяването на [tex]\vec{BD}[/tex] чрез [tex]\vec{OA}, \vec{OC}[/tex] и [tex]k[/tex] ще е еднакво.

[Меди]

$AO:AB=k:1 \Rightarrow OA:OB=OA:(OA+AB)=k:(k+1)$

От това следва, че $OB=\dfrac{k+1}{k}OA$. Аналогично се получава, че $OD=\dfrac{k+1}{k}OC$.

Заради това, че съответните двойки вектори лежат на една права и са еднопосочни, твърдим, че $\overrightarrow{OB}=\dfrac{k+1}{k}\cdot\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OD}=\dfrac{k+1}{k}\cdot\overrightarrow{OC} \Rightarrow \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OB}=\dfrac{k+1}{k}\cdot\overrightarrow{OC}-\dfrac{k+1}{k}\cdot\overrightarrow{OA}=\dfrac{k+1}{k}\overrightarrow{AC}$. Успоредността следва.