Доказване на необходимост и достатъчност с теорема на Талес

[Меди]

Върху страните $CA$ и $CB$ на триъгълника $ABC$ с медицентър $G$ са взети съответно точки $M$ и $N$. Докажете, че точките $M,N$ и $G$ лежат на една права тогава и само тогава, когато $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}=3$.

145-10.png (259.71 KiB) Прегледано 709 пъти

За да решим пълно задачата, трябва да докажем, че ако $M,N$ и $G$ лежат на една права, то $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}=3$, но и че, ако $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}=3$, то $M,N$ и $G$ лежат на една права (необходимост и достатъчност). Може ли някакви насоки, защото не мога да съобразя какво допълнително построение да направя, за да сведа задачата до теорема на Талес? Благодаря ви предварително!

[123a]

Задължително ли трябва да е с Талес? Предполагам, че щом е от състезания, може да се използват и други начини.

[Меди]

Задължително ли трябва да е с Талес? Предполагам, че щом е от състезания, може да се използват и други начини.

Задачата е от група В (задачи за състезания), но е в раздела "Теорема на Талес. Обратна теорема на Талес".

[Евва]

Реших я само в едната посока чрез -подобни триъгълници .
Мисля ,че усета за допълнителни построения се развива и усъвършенства с течение на времето .
Честно казано първата ми идея за допълнително построение не бе добра .
Втората ми идея се оказа успешна .

[Меди]

Реших я само в едната посока чрез -подобни триъгълници .
Мисля ,че усета за допълнителни построения се развива и усъвършенства с течение на времето .
Честно казано първата ми идея за допълнително построение не бе добра .
Втората ми идея се оказа успешна .

Бихте ли казали какво е допълнителното построение, което направихте?

[Евва]

През т.А построих права а||BC .
Нека т.Т е пресечната точка на правите -а и MN .

[ptj]

Построй през [tex]M,N,G[/tex] успоредни прави на [tex]AB[/tex]. Трябва ти да намериш в какво съотношение съответните им пресечени точки делят CA и CB.
Приемаш някое съотношение за параметър и чрез него изразяваш всички останали.

[Евва]

Нека точките M,N,G лежат на една права .Ще докажем,че [tex]\frac{CA}{CM}[/tex]+[tex]\frac{CB}{CN}[/tex]=3
Да означим-N[tex]A_{1 }[/tex]=x ,BC=a .
[tex]\triangle[/tex]AGT[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]GN[tex]A_{1 }[/tex] (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AT}{NA_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{AG}{A_{1 }G}[/tex] т.е. [tex]\frac{АТ}{NA_{1 }}[/tex]=[tex]\frac{2}{1}[/tex] намираме АТ=2х

[tex]\triangle[/tex]AMT[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MNC (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{CM}[/tex]=[tex]\frac{AT}{NC}[/tex] т.е. [tex]\frac{АМ}{CM}[/tex]=[tex]\frac{2x}{x+\frac{a}{2}}[/tex] (1)
_________________________________________________________________________
[tex]\frac{CA}{CM}[/tex]+[tex]\frac{CB}{CN}[/tex]=[tex]\frac{CM+AM}{CM}[/tex]+[tex]\frac{CB}{CN}[/tex]=

=1+[tex]\frac{AM}{CM}[/tex]+[tex]\frac{CB}{CN}[/tex] [ виж (1) ]= 1+[tex]\frac{2x}{x+\frac{a}{2}}[/tex]+[tex]\frac{a}{x+\frac{a}{2}}[/tex]=

=1+[tex]\frac{4x}{2x+a}[/tex]+[tex]\frac{2a}{2x+a}[/tex]=

=1+[tex]\frac{2(2x+a)}{2x+a}[/tex]=

=1+2 =3

[Меди]

Ще споделя какво успях да измисля по задачата досега.

144-101.png (300.63 KiB) Прегледано 555 пъти

Нека точките $M,G$ и $N$ лежат на една права и нека точка $C_1$ е средата на отсечката $AB$. Построяваме права през $C_1$, успоредна на $MN$. Ако построената права пресича лъчите $CA$ и $CB$ съответно в точките $M_1$ и $N_1$, то съгласно тази задача $\dfrac{CA}{CM_1}+\dfrac{CB}{CN_1}=2$. Сега прилагаме последователно теоремата на Талес за два ъгъла:

1) $\angle N_1CM_1$, раменете на който са пресечни с успоредните прави $M_1N_1$ и $MN$, от което следва, че $\dfrac{CM}{CM_1}=\dfrac{CN}{CN_1}$
2) $\angle N_1CC_1$, раменете на който са пресечни с успоредните прави $M_1N_1$ и $MN$, от което следва, че $\dfrac{CN}{CN_1}=\dfrac{CG}{CC_1}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{CM}{CM_1}=\dfrac{CN}{CN_1}=\dfrac{CG}{CC_1}=\dfrac{2}{3}$.

Стоя от известно време и не мога да съобразя как да завърша, защото мисля, че всичко дотук изглежда добре.

[Меди]

Ще завърша сам.

От $\dfrac{CM}{CM_1}=\dfrac{CN}{CN_1}=\dfrac{2}{3} \Rightarrow CM_1=\dfrac{3}{2}CM$ и $CN_1=\dfrac{3}{2}CN$. Заместваме в $\dfrac{CA}{CM_1}+\dfrac{CB}{CN_1}=2$ и получаваме $\dfrac{CA}{\dfrac{3}{2}CM}+\dfrac{CB}{\dfrac{3}{2}CN}=2$. След малко преобразувания можем да получим, че $\dfrac{2}{3}\big(\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}\big)=2$ или $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}=3$.

Нека сега $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN}=3$. Ако правата $MG$ пресича $BC$ в точка $N_1$, то като приложим вече доказаното за точките $M,G$ и $N_1$, ще получим, че $\dfrac{CA}{CM}+\dfrac{CB}{CN_1}=3$. Оттук обаче следва, че $\dfrac{CB}{CN}=\dfrac{CB}{CN_1}$, т.е. точките $N$ и $N_1$ съвпадат.

Хубава задача! Отне ми доста време, за да я реша и обмисля. Благодаря на всички за предложенията!