Ето го и моето решение:
От $\triangle KBL \sim \triangle ABD \Rightarrow \dfrac{BK}{AB}=\dfrac{BL}{BD}=\dfrac{DF}{BD}$. Нека $AB=a$ и $CD=b$. Четириъгълникът $AKCD$ е успоредник, което означава, че $AK=CD=b$ и $KB=AB-AK=a-b$. От $\triangle AFB \sim \triangle CFD \Rightarrow \dfrac{DF}{FB}=\dfrac{CD}{AB}$ или $\dfrac{DF}{BD}=\dfrac{CD}{AB+CD}$. Получихме, че $\dfrac{BK}{AB}=\dfrac{CD}{AB+CD}$ и като заместим с буквените означения става $\dfrac{a-b}{a}=\dfrac{b}{a+b} \Rightarrow a^2-ab-b^2=0$. Разделяме на $b^2 \ne 0$ и получаваме $(\dfrac{a}{b})^2-\dfrac{a}{b}-1=0$. Положителният корен на това квадратно уравнение относно $\dfrac{a}{b}$ е $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$.
* Вместо подобието може да се използва теорема на Талес и решението става малко по-бързо. Урокът, от който взех задачата, е за първи признак за подобие на триъгълници.
Добромир Глухаров написа:$\Delta AFD\sim\Delta CFL$
$\frac{FL}{DF}=\frac{FC}{AF}=\frac{CL}{AD}$
$\Delta AFB\sim\Delta CFD$
$\frac{AB}{CD}=\frac{AF}{FC}=\frac{BF}{DF}=\frac{BL+LF}{DF}=1+\frac{LF}{DF}=1+\frac{FC}{AF}=1+\frac{CD}{AB}$
$\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
Може ли да ви попитам как доказвате, че $\triangle AFD \sim CFL$? Кой признак използваме? Не мога да разбера лъжа ли се или $\angle CLF=\angle ADF$ като кръстни, получени при пресичането на $(AD \parallel CK)\cap DL$?
"Студент – това е все още нищо, от което може да излезе всичко." – Шандор Петьофи
Меню
