Първи признак за подобни триъгълници

[Гост]

Даден е правоъгълен триъгълник(<С=90°),AD=2 cm,BD=6cm и височината CD. Да се докаже,че:
а) тр.АDC ~ тр.АСВ
-тр. ВDC~ тр. ВСА
-тр. BCA ~ тр. CDB
б) Да се намерят страните АС и ВС

[S.B.]

Без заглавие (65).png (184.17 KiB) Прегледано 253 пъти

Даден е правоъгълен триъгълник(<С=90°),AD=2 cm,BD=6cm и височината CD. Да се докаже,че:
а) тр.АDC ~ тр.АСВ
-тр. ВDC~ тр. ВСА
-тр. BCA ~ тр. CDB
б) Да се намерят страните АС и ВС

Преди всичко искам да отбележа , че в случая има само 3 правоъгълни триъгълника - [tex]\triangle ABC, \triangle ADC , \triangle DBC[/tex]
а)$\triangle ACB $ и $ \triangle BCA$ са един и същи триъгълник;
$\triangle BDC$ и $ \triangle CDB$ са един и същи триъгълник.
Нека $\angle CAB = \alpha , \angle CBA = \beta$
В $\triangle ABC \rightarrow \angle ACB = 90^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 90^\circ$
$ CD\bot AB \Rightarrow \angle ADC = \angle BDC = 90^\circ \Rightarrow \triangle ADC$ и $ \triangle BDC$ са правоъгълни
За $\triangle ADC \rightarrow \angle DAC = \alpha, \angle ACD + \alpha = 90^\circ \Rightarrow \angle ACD = \beta$
За $\triangle BDC \rightarrow \angle DBC = \beta, \beta + \angle BCD = 90^\circ \Rightarrow \angle BCD = \alpha$
Получи се,че ъглите на триъгълниците $\triangle ABC ,\triangle ADC$ и $\triangle BDC$ са равни $\Rightarrow $ и трите триъгълника са подобни по 1-ви признак.

б) По Питагор : $h_{c }^{2} = AD.BD \Leftrightarrow CD^{2} = 2.6 \Rightarrow CD = 2\sqrt{3}$
По Питагор за $\triangle ADC \rightarrow AC^{2} = CD^{2} + AD^{2} \Rightarrow AC = 4$
Сега можеш да намериш и $BC$ като използваш или Питагор или отношенията от подобните триъгълници.

[Гост]

Много благодаря за обяснението!