Подобни триъгълници и окръжност

[Меди]

Около окръжност е описан равнобедрен трапец. Да се докаже, че отсечката, свързваща допирните точки на окръжността с бедрата, минава през пресечната точка на диагоналите на трапеца.

geogebra-export (9).png (403.94 KiB) Прегледано 407 пъти

Нека пресечната точка на диагонала $AC$ и на отсечката $QN$ бъде $K$. Опитвам се да докажа, че $\angle CDK=\angle CDB$, от което ще следва, че точката $K$ лежи и на диагонала $BD$ (с други думи, точката $K$ ще стане пресечна точка на диагоналите, но и ще лежи на $QN$). Не успявам да го направя. Друга посока, в която мислих, е да докажа, че ако $К_1$ е пресечна точка на диагоналите, то $QN$ минава през $K_1$. Ще съм благодарен, ако може да ми помогнете. Благодаря предварително!

[KOPMOPAH]

Подобни триъгълници и окръжност.png (15.36 KiB) Прегледано 372 пъти

Както стана дума, т.$K$ е пресечената точка на диагоналите. Трябва да се докаже, че $\measuredangle QKN$ е изправен.

Скицирам:
- триъгълниците $\triangle ABK$ и $\triangle CDK$ са подобни (и равнобедрени!) $\Rightarrow KD:DC=KA:AB, ~KD:DP=KA:AM$;
- $DP=DQ$, $AM=AQ$, защото са допирателни;
- в $\triangle AKD~~KD:DQ=KA:AQ$, следователно $KQ$ е ъглополовяща и $\measuredangle AKQ=\measuredangle DKQ=\alpha$;
- аналогично $\measuredangle BKN=\measuredangle CKN=\alpha$;
- $BD$ е диагонал, следователно $\varphi+\alpha+\alpha=180^\circ$;

И в крайна сметка $\measuredangle QKN=\alpha+\varphi+\alpha=180^\circ$.

[Меди]

Подобни триъгълници и окръжност.png

Както стана дума, т.$K$ е пресечената точка на диагоналите. Трябва да се докаже, че $\measuredangle QKN$ е изправен.

Скицирам:
- триъгълниците $\triangle ABK$ и $\triangle CDK$ са подобни (и равнобедрени!) $\Rightarrow KD:DC=KA:AB, ~KD:DP=KA:AM$;
- $DP=DQ$, $AM=AQ$, защото са допирателни;
- в $\triangle AKD~~KD:DQ=KA:AQ$, следователно $KQ$ е ъглополовяща и $\measuredangle AKQ=\measuredangle DKQ=\alpha$;
- аналогично $\measuredangle BKN=\measuredangle CKN=\alpha$;
- $BD$ е диагонал, следователно $\varphi+\alpha+\alpha=180^\circ$;

И в крайна сметка $\measuredangle QKN=\alpha+\varphi+\alpha=180^\circ$.

Адмирации! Чудесно решение! Трябва да се отбележи в описанието на решението, че точките $M$ и $P$ са среди съответно на $AB$ и $CD$. Най-бързо става с $\triangle AOB$, който е равнобедрен, защото $\angle OAB=\dfrac{1}{2}\angle A=\dfrac{1}{2}\angle B=\angle OBA$. Отсечката $OM$ е височина и медиана към основата в равнобедрения $\triangle AOB$, защото знаем, че четириъгълник е описан около окръжност, когато страните му са допирателни към окръжността. За точката $P$ разсъждението е аналогично ($\triangle COD$ също е равнобедрен). Още веднъж супер идея и решение! Може ли да ви попитам дали чертежът е правен на GeoGebra?

[KOPMOPAH]

Благодаря за оценката на решението.
Разбира се, че чертежът е правен на GeoGebra, на която съм горещ почитател и пропагандатор. Трябва да се отбележи, обаче, че умишлено ползвам по-стара версия на програмата, която съдържа много полезни функционалности, за които авторите кой знае защо са решили да не присъстват в последната версия. С удоволствие мога да споделя някои полезни и не много често използвани функции на GeoGebra.