Меню
Вписаната в $\triangle ABC$ $(AC=BC)$ окръжност с център $I$ се допира до страните му $BC$ и $AC$ съответно в точките $M$ и $K$. Допирателната към окръжността, успоредна на основата, пресича бедрата в точките $N$ и $P$. Ако $AB=6$ $cm$ и $BC=9$ $cm$, то намерете дължините на отсечките $MK$ и $PN$.
- 2.png (35.5 KiB) Прегледано 288 пъти
Моят поглед върху задачата: Нека $S$ бъде допирната точка на окръжността с основата на триъгълника. Ако разгледаме $\triangle ABI$, $\angle BAI=\dfrac{1}{2}\angle A=\dfrac{1}{2}\angle B=\angle ABI$. Следователно той е равнобедрен и $IS$ е височина и медиана. Точката $S$ стана среда на $AB \Rightarrow AK=AS=BS=BM=\dfrac{1}{2}AB=3$ $cm$ (допирателни отсечки). $CK=AC-AK=9-3=6$ $cm$ и аналогично $CM=6$ $cm$. Нека разгледаме $\triangle ABC$ и $\triangle KMC$:
1) $\angle C$ е общ.
2) $\dfrac{CK}{AC}=\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
Следователно по втори признак $\triangle ABC \sim \triangle KMC$ и $MK=4$ $cm$. (Tова ли е най-бързото подобие, което може да използваме, за да намерим $MK$?)
От същото подобие $\angle CKM=\angle BAC \Rightarrow AB\parallel MK \parallel NP$. Нека $Q$ е допирната точка на окръжността с допирателната, която е успоредна на $AB$. $CI$ е ъглополовяща и височина в $\triangle ABC$ и $CI \perp AB$, но $AB \parallel NP \Rightarrow CI \perp NP$, но и $IQ \perp NP \Rightarrow C,Q,I$ лежат на една права. $CQ$ стана ъглополовяща, но е и медиана в равнобедрения $\triangle NPC$ (който е равнобедрен, защото $\angle CNP=\angle BAC=\angle ABC=\angle CPN$). Нека $KN=NQ=PQ=PМ=x$ (допирателни отсечки). От равенството на ъглите, което написах преди малко, следва, че $\triangle ABC \sim \triangle NPC$ и $\dfrac{AB}{NP}=\dfrac{BC}{PC} \Leftrightarrow \dfrac{6}{2x}=\dfrac{9}{6-x} \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}, PN=2.\dfrac{3}{2}=3$ $cm$.
Някак решението ми се стори много дълго. Ще съм благодарен, ако ми кажете какво мога да съкратя или ако някой има по-рационално решение, нека го предложи. Благодаря предварително!
