задача за отсечки

[Гост]

Върху една права са взети точките А, В, М и Н . Известно е че точка М лежи върху отсечката АН и АП: МН= 2:5 , а точка В е от отсечката МН и АВ : ВМ= 7:3. Намерете дължините на отсечките АМ, АВ и АН, ако ВН = 7 см

[peyo]

Сложната част в тази задача е да намерим с коя точка в условието е сбъркана точката П?! Тук ни трябва математически детектив!

Съдейки по втората част "а точка В е от отсечката МН и АВ : ВМ= 7:3" ще предположим, че П е сбъркана с М и така
"точка М лежи върху отсечката АН и АП: МН= 2:5"
условието става:
"точка М лежи върху отсечката АН и АМ: МН= 2:5"
"а точка В е от отсечката МН и АВ : ВМ= 7:3"

Да предположим, че подреждането е следното:

Код: Избери целия код

A --- M --- B --- H


BH = 7

AM/MH=2/5 или 5AM =2MH
AB/BM=7/3 или 3AB=7BM

Ще пробваме да съставим система уравнения докато имаме достатъчно променливи и уравняния за еднозначно решение:
BH = 7
5*AM =2*MH
3*AB=7*BM
AM+BM+BH=AH
MH = BM + BH
AB = AM + BM

6 уравнения с 6 неизвестни. Дотук добре. Да ги решим.

Код: Избери целия код

In [96]: from sympy import *
In [97]: var("BH AM MH AB BM AH")
Out[97]: (BH, AM, MH, AB, BM, AH)
In [101]: u1 = BH-7 ; u2 = 5*AM - 2*MH; u3 = 3*AB-7*BM; u4 = AM+BM+BH-AH; u5 = MH - BM + BH; u6 = AB - AM + BM
In [102]: solve([u1,u2,u3,u4,u5,u6], [BH, AM, MH, AB, BM, AH])
Out[102]: {BH: 7, AM: -35/11, AH: 63/22, BM: -21/22, MH: -175/22, AB: -49/22}


Имаме отрицателни отговори. Не е добре. Да видим дали можем да сменим местата на точките на чертежа по следния начин:

Код: Избери целия код

A --- B --- M --- H


Тогава:
BH = 7
5*AM =2*MH
3*AB=7*BM
AB+BH=AH
MH = BH - BM
AB = AM - BM

Да видим:

Код: Избери целия код

In [103]: u1 = BH-7 ; u2 = 5*AM - 2*MH; u3 = 3*AB-7*BM; u4 = AB+BH-AH; u5 = MH-BH+BM; u6 = AB - AM + BM
In [104]: solve([u1,u2,u3,u4,u5,u6], [BH, AM, MH, AB, BM, AH])
Out[104]: {BH: 7, AM: 5/2, AH: 35/4, BM: 3/4, MH: 25/4, AB: 7/4}

С което намерихме валидно решение.