Равнобедрен трапец и вписана окръжност

[Гост]

В равнобедрен трапец $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ е вписана окръжност с радиус $r$. Намерете отсечката с краища допирните точки на окръжността с бедрата на трапеца, акo $AD=c$.

[KOPMOPAH]

Равнобедрен трапец и вписана окръжност.png (16.56 KiB) Прегледано 738 пъти

Отбелязваме $MD$ с $x$, следователно $AM=c-x$.

Известно (а при необходимост - и лесно доказуемо) е, че ъглополовящите на съседни ъгли при двете основи в трапеца се пресичат под прав ъгъл.

За правоъгълния $\triangle ADI$: $$x(c-x)=r^2$$След решаване на квадратното уравнение спрямо $x$:$$x=\frac {c-\sqrt{c^2-4r^2}}2$$.

Скрит текст: покажи

Взехме този корен, а не $x=\frac {c+\sqrt{c^2-4r^2}}2$, защото $x=\frac {c+\sqrt{c^2-4r^2}}2>\frac c2$.

Прекарваме права $a$ през т.$C$, $a||AD$. Правата $a \cap AB=E$, $EB=2(c-x)-2x=2(c-2x)$.

От подобието $\triangle CFN \approx \triangle CEB \Rightarrow \frac xc=\frac{FN}{2(c-2x)} \Rightarrow FN=\frac{2x(c-2x)}c$

В крайна сметка $$MN=MF+FN=2x+\frac{2x(c-2x)}c=\frac{4x(c-x)}c=$$ $$=\frac{4\frac {\displaystyle c-\sqrt{c^2-4r^2}} 2\left(c-\frac {\displaystyle c-\sqrt{c^2-4r^2}}2\right)}c= \frac{\left(c-\sqrt{c^2-4r^2}\right)\left(c+\sqrt{c^2-4r^2}\right)}c={\frac {4r^2}c}$$

Скрит текст: покажи

Обидно скромен израз за такива дълги сметки

[Евва]

( 2 начин ) Нека точка Т е среда на отс.MN ,[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] ,D[tex]D_{1 }[/tex] е височина на трапеца .
[tex]\angle[/tex]MIT=[tex]\angle[/tex]BAD=[tex]\alpha[/tex] ( имат взаимноперпендикулярни рамене )

( [tex]\triangle[/tex]A[tex]D_{1 }[/tex]D- правоъгълен ) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{DD_{1 }}{AD}[/tex] ; sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{2r}{c}[/tex] (1)

( [tex]\triangle[/tex]MIT-правоъгълен ) sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{MT}{MI}[/tex] ;sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{\frac{MN}{2}}{r}[/tex] т.е. sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{MN}{2r}[/tex] (2)

От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{2r}{c}[/tex]=[tex]\frac{MN}{2r}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] MN=[tex]\frac{4r^{2}}{c}[/tex]