задача за триъгълник и вписана окръжност

[Гост]

Триъгълник АВС (СА = СВ)има височина СД =24 см и АВ : ВС = 2:5 . Точка О е център на вписаната в него окръжност, а точка Г е медицентър . Намерете дължината на отсечката ГО

[Евва]

Нека AB=2a ,BC=5a , т.G-медицентър на [tex]\triangle[/tex]АВС ,окр.К пресича отс.CD в т.Е
(При моя чертеж т.G лежи на отсечката ОЕ.)
GO=x=?
т.О лежи на ъглополовящата на [tex]\angle[/tex]ВАС т.е. АО е ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]ADC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{OD}{OC}[/tex]=[tex]\frac{AD}{AC}[/tex] ; [tex]\frac{r}{24-r}[/tex]=[tex]\frac{a}{5a}[/tex] ; r=4 см.
Тогава CE=CD-DE=24-2r=24-8= 16 ; СЕ=16 см.

т.G е медицентър [tex]\Rightarrow[/tex] CG=[tex]\frac{2}{3}[/tex]CD ;CE+EG=[tex]\frac{2}{3}[/tex].24
16+EO-GO=16 ; 4-х=0
х=4 см.

Скрит текст: покажи

Интересно е ,че получихме х=r=4 см. Това значи ,че т.G ще лежи на окр.К .