Теореми на Менелай и Чева

[Меди]

В $ABCD$ $M\in AB, AM:MB=2:7$ и $N\in BC, BN:NC=4:5$. Ако $DM\cap AN=O$, то намерете отношенията $AO:ON;DO:OM$.

geogebra-export.png (435.15 KiB) Прегледано 686 пъти

Edit: След като се убедих, че задачата е недефинирана, когато $ABCD$ е произволен четириъгълник, реших да разгледам случая, в който $ABCD$ е успоредник. В интерес на истината в този случай успях да получава отговорите, които са дадени в учебника - $AO:ON=18:71$ и $DO:OM=81:8$.

[drago]

Няма как само по тези дадености да намериш исканите относшения. Трябва още нещо. За да видиш това, просто започни да движиш т. $D$ както ти дойде, другите точки $A,B,C, M,N$ ги дръж фиксирани.

[ptj]

Сигурен ли си, че си дал цялото условие за четириъгълника?

Ако въведем два базови вектора [tex]\vec{BA}[/tex] и [tex]\vec{BC}[/tex], (поне на пръв поглед) определящо за търсените отношения е изразяването на [tex]\vec{BD}[/tex] чрез базовите вектори.

[Меди]

Сигурен ли си, че си дал цялото условие за четириъгълника?

Ако въведем два базови вектора [tex]\vec{BA}[/tex] и [tex]\vec{BC}[/tex], (поне на пръв поглед) определящо за търсените отношения е изразяването на [tex]\vec{BD}[/tex] чрез базовите вектори.

Здравейте, благодаря за отговорите. Да, сигурен съм, че съм дал цялото условие на задачата. Изглежда е недомислена от авторите и са пропуснали да дадат още нещо за четириъгълника. Отговорите, които са дадени, са $AO:ON=18:71$ и $DO:OM=81:8$.

[Меди]

Отговорите излизат, когато $ABCD$ е успоредник. Не харесвам решението, което измислих и се надявам някой да предложи нещо по-бързо.

[Меди]

Теореми на Менелай и Чева.png (103.62 KiB) Прегледано 541 пъти

За първото отношение нека пресечем $BC$ с $DM$ в точката $Q$. Можем да приложим теоремата на Менелай за правата $OMQ$ и $\triangle ABN \Rightarrow \dfrac{AO}{ON}\cdot\dfrac{NQ}{QB}\cdot\dfrac{BM}{MA}=1 \Rightarrow \dfrac{AO}{ON}=\dfrac{BQ}{QN}\cdot\dfrac{AM}{BM}$. Ако разгледаме $\triangle BMQ \sim AMD \Rightarrow \dfrac{BQ}{AD}=\dfrac{BQ}{BC}=\dfrac{BM}{AM}=\dfrac{7}{2}$ или $BQ=\dfrac{7}{2}BC$. Получаваме $\dfrac{AO}{ON}=\dfrac{BQ}{QN}\cdot\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{\dfrac{7}{2}BC}{BQ+BN}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{\dfrac{7}{2}BC}{\dfrac{7}{2}BC+\dfrac{4}{9}BC}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{63}{71}\cdot\dfrac{2}{7}=\dfrac{18}{71}$.

За второто отношение нека пресечем $CD$ с $AN$ в точката $P$. Можем да приложим теоремата на Менелай за правата $ONP$ и $\triangle CDQ \Rightarrow \dfrac{DO}{OQ}\cdot\dfrac{QN}{NC}\cdot\dfrac{CP}{PD}=1 \Rightarrow \dfrac{DO}{OQ}=\dfrac{CN}{QN}\cdot\dfrac{DP}{CP}$. От по-горните пресмятания имаме $QN=BQ+BN=\dfrac{71}{18}BC$. Ако разгледаме $\triangle CNP \sim BNA \Rightarrow \dfrac{CP}{AB}=\dfrac{CP}{CD}=\dfrac{CN}{BN}=\dfrac{5}{4}$ или $CP=\dfrac{5}{4}CD$. Готови сме да пресмятаме: $\dfrac{DO}{OQ}=\dfrac{CN}{QN}\cdot\dfrac{DP}{CP}=\dfrac{\dfrac{5}{9}BC}{\dfrac{71}{18}BC}\cdot\dfrac{CD+CP}{\dfrac{5}{4}CD}=\dfrac{10}{71}\cdot\dfrac{CD+\dfrac{5}{4}CD}{\dfrac{5}{4}CD}=\dfrac{10}{71}\cdot\dfrac{\dfrac{9}{4}CD}{\dfrac{5}{4}CD}=\dfrac{10}{71}\cdot\dfrac{9}{5}=\dfrac{18}{71}$. Сега видях, че всичко това $\big(\dfrac{DO}{OQ}\big)$ се свежда до просто приложение на теорема на Талес, но ... Как сега да намеря $\dfrac{DO}{OM}$? Имате ли други идеи за задачата? Ще се радвам да ги чуя.