По-сложни задачи за подобни триъгълници

[Гост]

1. В трапец са прекарани диагоналите и в триъгълниците, прилежащи към основите, са вписани окръжности. Намерете основите на трапеца, ако средната му отсечка е 9 см, а отношението на радиусите на окръжностите е 2.
2. В тр. АВС е вписан правоъгълник KLMN така, че страната KL лежи на АВ, М и N лежат съответно на ВС И СА и LM:MN= 4:5. Ако АВ= 3 см, а лицето на тр. АВС е 18 кв.см, намерете дължините на LM и MN и отношението SMNC:SABMN

[Евва]

1 зад. Нека АВ=а ,CD=b и AB>CD ,т.М е пресечна точка на диагоналите .
[tex]K_{1 }[/tex]([tex]O_{1 }[/tex];[tex]r_{1 }[/tex])-вписана в [tex]\triangle[/tex]АВМ ; [tex]K_{2 }[/tex]([tex]O_{2 }[/tex];[tex]r_{2 }[/tex])-вписана в [tex]\triangle[/tex]MCD
Дадено е,че [tex]\frac{a+b}{2}[/tex]=9 и [tex]\frac{r_{1 }}{r_{2 }}[/tex]=2

[tex]\triangle[/tex]ABM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MCD (1 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AB}{CD}[/tex]=[tex]\frac{r_{1 }}{r_{2 }}[/tex] т.е. [tex]\frac{a}{b}[/tex]=2
Остава да решиш системата :
[tex]\begin{array}{|l} \frac{a+b}{2} = 9 \\ \frac{a}{b} = 2 \end{array}[/tex]

Получих отговор а=12 см. , b=6 см.

[KOPMOPAH]

...
2. В тр. АВС е вписан правоъгълник KLMN така, че страната KL лежи на АВ, М и N лежат съответно на ВС И СА и LM:MN= 4:5. Ако АВ= 3 см, а лицето на тр. АВС е 18 кв.см, намерете дължините на LM и MN и отношението SMNC:SABMN

По-сложни задачи за подобни триъгълници.png (6.72 KiB) Прегледано 754 пъти

Отбелязваме $LM$ с $4x$, а $MN$ - с $5x$.
От това, че $S_{ABC}=18$ и $AB=3$ намираме $h=\frac{2S}{AB}=\frac {36}3=12$.

Триъгълниците $\triangle LBM$ и $\triangle DBC$ са подобни, следователно $$\frac{BM}{BC}=\frac{4x}{12}=\frac {x}3~~~~~~~~~~~(1)$$
Триъгълниците $\triangle NMC$ и $\triangle ABC$ също са са подобни, следователно $$\frac{CM}{BC}=\frac{5x}{AB}=\frac{5x}{3}~~~~~~~~~~~(2)$$
Събираме равенствата $(1)$ и $(2)$ и получаваме $$\frac{MB+CM}{BC}=\frac{(5+1)x}{3}=\frac {6x}3~~~~~~~~~~~$$ $$\frac{BC}{BC}=2x \Rightarrow 1=2x \Rightarrow x=\frac12, LM=2, MN=\frac 52$$
Нататък е лесно