Квадратни неравенства

[Гост]

Здравейте! Нужна ми е помощ. Не искам да ми решавате домашната и прочие, а бих искал някой да ми обясни какво правим при квадратните неравенства, понеже съм малко скаран с плюса и минуса и не схващам. За пример ще дам една проста задача x^{2} + 5x + 4 [tex]\ge[/tex] 0 . Как действаме при такава задача и как правим графиката? Благодаря предварително, приятен ден!

[Гост]

Най-вече ми е нужна помощ с графиката, знам, че започваме с намирането на дискриминантата, която тук получих да е 9, и след това намираме х1 и х2, които при мен са съответно -1 и -4. Как преценяваме графиката и интервалите?

[Меди]

$$x^2+5x+4\ge0$$1) Решаваме съответното квадратно уравнение:
$x^2+5x+4=0$
$D=9>0$
$x_1=-4$ и $x_2=-1$.
2) Начертаваме схематично параболата:
$a=1>0$

desmos-graph.png (66.24 KiB) Прегледано 1258 пъти

3) Определяме стойностите на $x$, които са решения на даденото неравенство:
$x\in(-\infty; -4]\cup[-1;+\infty)$.

И да отбележим, че при решаване на квадратни неравенства не е необходимо точно построяване на параболата. Трябва да се определи накъде е обърната, както и разположението й спрямо абсцисната ос.

Как преценяваме графиката и интервалите?

Ако $a>0$, параболата е обърната нагоре.
Ако $a<0$, параболата е обърната надолу.
Доколкото за интервалите, пресечните точки на графиката на дадена функция с абсцисната ос са тези, в които тя е възможно (евентуално) да премине от едната страна на абсцисната ос в другата, т.е. да смени знака си. В числата, които са корени на лявата страна, тази лява страна евентуално (но не винаги!) сменя знака си и само в тези числа би могло да се случи смяна на знака на лявата страна. Ето например графиката на функцията $f(x)=(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2$:

Графика на функция от по-висока степен.png (58.45 KiB) Прегледано 1257 пъти

В $-\dfrac85$ (който е двоен корен) тя се допира до абсцисната ос, но остава само от едната страна (отрицателната) на ординатната ос.

[dori5089]

$$x^2+5x+4\ge0$$1) Решаваме съответното квадратно уравнение:
$x^2+5x+4=0$
$D=9>0$
$x_1=-4$ и $x_2=-1$.
2) Начертаваме схематично параболата:
$a=1>0$

desmos-graph.png

3) Определяме стойностите на $x$, които са решения на даденото неравенство:
$x\in(-\infty; -4]\cup[-1;+\infty)$.

И да отбележим, че при решаване на квадратни неравенства не е необходимо точно построяване на параболата. Трябва да се определи накъде е обърната, както и разположението й спрямо абсцисната ос.

Как преценяваме графиката и интервалите?

Ако $a>0$, параболата е обърната нагоре.
Ако $a<0$, параболата е обърната надолу.
Доколкото за интервалите, пресечните точки на графиката на дадена функция с абсцисната ос са тези, в които тя е възможно (евентуално) да премине от едната страна на абсцисната ос в другата, т.е. да смени знака си. В числата, които са корени на лявата страна, тази лява страна евентуално (но не винаги!) сменя знака си и само в тези числа би могло да се случи смяна на знака на лявата страна. Ето например графиката на функцията $f(x)=(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2$:

Графика на функция от по-висока степен.png

В $-\dfrac85$ (който е двоен корен) тя се допира до абсцисната ос, но остава само от едната страна (отрицателната) на ординатната ос.

А как ще бъде без парабола?

[Гост]

$$x^2+5x+4\ge0$$1) Решаваме съответното квадратно уравнение:
$x^2+5x+4=0$
$D=9>0$
$x_1=-4$ и $x_2=-1$.
2) Начертаваме схематично параболата:
$a=1>0$

desmos-graph.png

3) Определяме стойностите на $x$, които са решения на даденото неравенство:
$x\in(-\infty; -4]\cup[-1;+\infty)$.

И да отбележим, че при решаване на квадратни неравенства не е необходимо точно построяване на параболата. Трябва да се определи накъде е обърната, както и разположението й спрямо абсцисната ос.

Как преценяваме графиката и интервалите?

Ако $a>0$, параболата е обърната нагоре.
Ако $a<0$, параболата е обърната надолу.
Доколкото за интервалите, пресечните точки на графиката на дадена функция с абсцисната ос са тези, в които тя е възможно (евентуално) да премине от едната страна на абсцисната ос в другата, т.е. да смени знака си. В числата, които са корени на лявата страна, тази лява страна евентуално (но не винаги!) сменя знака си и само в тези числа би могло да се случи смяна на знака на лявата страна. Ето например графиката на функцията $f(x)=(x+3)(3x-2)^5(7-x)^3(5x+8)^2$:

Графика на функция от по-висока степен.png

В $-\dfrac85$ (който е двоен корен) тя се допира до абсцисната ос, но остава само от едната страна (отрицателната) на ординатната ос.

Благодаря за изчерпателното обяснение! И аз искам да попитам как ще стане без парабола, защото ние не го учим така. Благодарен съм Ви много!

[Гост]

Така ли ще се получи графиката?

[mail_dinko]

Качвам вариант на твоята рисунка - да видиш откъде идва.
Това, което си нарисувал е опростен вид на графиката. Т.е. ти рисуваш всичко над абсц. ос. И мен така са ме учили в училище.
Математиците, може да ми направят забележка, но по-важните моменти са:
1. Правилно да подредиш числата върху числовата ос (внимавай, ако имаш дроби и корени)
2. Не включваш числото нула, освен ако не го получиш като корен.
3. След като подредиш числата на числовата ос, оформяш интервалите (това е кривата със зигзагообразна форма).
4. После във всяко поле рисуваш плюс и минус. Започва се от дясно наляво!.
5. С КОЕ ЗАПОЧВАМЕ??? - важен въпрос - започва се със същия знак като пред старшия коефициент. Т.е знака пред хикс на най-висока степен. Ако е плюс почваш с плюс НАЙ-вдясно. После редуваш минус, плюс. Ако е минус знакът пред хикс на най-висока степен, се започва с минус и пак редуваш.
6. Кое ни интересува? Защриховаш ПЛЮСовете, ако знакът на неравенството е > ИЛИ защриховаш минусите, ако знакът е <.
7. Обърни внимание, че ако пред хикс на най-висока степен имаш минус и не ти харесва и решиш да делиш или умножиш с минус 1 цялото неравенство, то тогава трябва да смениш посоката!!!!!
8. След това гледаш защрихованите интервали. Пишеш хикс принадлежи на...
9. Какви са скобите??? - малки или средни - от какво зависи - ако дадено число е решение на неравенството, то участва в интервала и скобата покрай него е средна скоба; ако не участва - скобата е кръгла, т.е. не влиза в интервала. Как разбираме това - определя се деф. множество. Ако някое число не принадлежи на ДМ - то при него скобата е кръгла.
10. Ако имаш число например +10, което е решение; но си определил интервал от x E (1;5); дописваш със знака за обединено U и във фигурални скоби слагаш 10 {10}.
11. Aко число от интервала не е решение или разцепваш интервала с това число - слагаш кръгли скоби, ИЛИ изписваш целия интервал, слагаш наклонена черта и във фигурални скоби слагаш числото което не е решение. x E (3;8) U (15;26) / {5}
12. Внимавай ако имаш множител на четна степен - не го забравяй.
13. Внимавай със знаменателя - там скобите ще са кръгли (говоря за интервала).

Решаването води до лекота в тези задачи. Успех

[Меди]

Така ли ще се получи графиката?

Предполагам, че искаш да решим неравенството по метода на интервалите. Ето ги основните стъпки, които трябва да следваш, когато използваш метода:
1) намираме корените на квадратния тричлен;
2) разделяме числовата ос на интервали;
3) определяме знака на квадратния тричлен в произволно избран интервал (избираме произволно число и чрез заместване в лявата страна на даденото неравенство определяме знака в интервала, в който е това число);
4) определяме знака на квадратния тричлен във всеки от останалите интервали;
5) записваме решенията на неравенството.
--------------------------
Нека разгледаме двучлена $x-a$, където $a$ е някакво число, а $x$ е неизвестно. При $x<a$ двучленът приема отрицателни стойности, а при $x>a$, двучленът приема положителни стойности. Тоест при прехода през точка $a$ двучленът $x-a$ си променя знака. Това свойство лежи в основата на метода на интервалите.