метод на интервалите

[dori5089]

Здравейте може ли помощ с тaзи задачa?
Благодаря много! Приятна седмица!

Зад.1 а) (x-2)(x+3)^3 (x-4)^2 > 0
б) (x-2)^2 (x-3)(2x+7) < 0

[KOPMOPAH]

Намираме корените на уравнението $(x-2)(x+3)^3 (x-4)^2 > 0$. Това са точките $(-3;0)$, $(2;0)$ и $(4;0)$
В точките $(-3;0)$ и $(2;0)$ кривата на графиката пресича абсцисната ос, следователно си сменя знака, а в $(4;0)$ се допира до абсцисната ос. Това е така, защото при наличието на член с четна степен, какъвто в случая е $(x-4)^2 $ има т.нар. "двоен корен" и функцията не си сменя знака.

Метод на интервалите.png (16.33 KiB) Прегледано 934 пъти

Остава да се намери знакът в някоя точка, а в съседните интервали да се сменя алтернативно - от "$+$" на "$-$" и обратно. Трябва да се внимава за двойния корен - там знакът не се сменя. Винаги е удобно да се намери знакът на функцията в точката "Нула", защото там сметките са най-малко. В случая имаме:$$f(0)=(-2)(3)(-4)^2=(-).(+).(+)=(-) \Rightarrow f(0)<0$$
Значи в интервала, съдържащ нулата, функцията е отрицателна, В съседните интервали, отбелязани със зелено тя е положителна, значи решението е ...









Ето и чертеж за второто неравенство:

Метод на интервалите-2.png (25.44 KiB) Прегледано 934 пъти

Пак има двоен корен и кривата само се допира до абсцисата.

[eli0102]

Друго записване на задачата.

[Knowledge Greedy]

[tex](x-2)(x+3)^3 (x-4)^2 > 0[/tex]
Тъй като квадратът винаги е положителен или нула, множителят [tex](x-4)^2[/tex] може да отстраним, като запомним, че [tex]x-4\ne 0[/tex] - защото неравенството е строго.
И така [tex]x\ne 4[/tex]

Нечетните степени не променят знака - т.е. какъвто е знакът на [tex](x+3)^3[/tex], такъв ще е и знакът на [tex]x+3[/tex]
И така, неравенството се опростява до [tex](x-2)(x+3) > 0[/tex] с добавката [tex]x\ne 4[/tex]

По-горе за какви знаци става въпрос?
Ако имахме да решим само неравенството [tex]x-2>0[/tex], казваме "Търсим x, за което [tex]x-2>0[/tex]".
Друг начин за изказване на въпроса е: " За кои [tex]x[/tex] изразът [tex]x-2[/tex] е положителен?". (Има положителен знак!)

Изписване на решението.
Един начин [tex]x>2[/tex]
Друг начин

Интервалът по голямо от Две.png (1.04 KiB) Прегледано 916 пъти

Трети начин [tex]x\in (2 ; +\infty)[/tex]
Тези начини са свързани един с друг поради наредбата на числата върху числовата ос. По-големите числа се отбелязват вдясно от по-малките. На чертежа са отбелязани нулата и две с точки върху числовата ос.

Да, но ние имаме да решим неравенството [tex](x-2)(x+3) > 0[/tex] с добавката [tex]x\ne 4[/tex]
И тук следва запис, подобен на този на eli0102 » Вто Апр 28, 2020 3:10 pm
__________________
Парадоксално лесен и същевременно непостижимо труден начин.
Защото трябва да се знаят толкова много на брой лесни факти.

[mail_dinko]

[tex](x-2)^2(x-3)(2x+7)<0[/tex]
[tex](x-2)^2=0[/tex]за [tex]x=2[/tex]
Нулите са:
[tex]x_1 =3; x_2 = - \frac {7}{2}[/tex]
[tex]x \in (- \frac {7}{2} ; 3)/ {2}[/tex]
ИЛИ
[tex]x \in (- \frac {7}{2} ; 2) \cup (2;3)[/tex]