Питагорова теорема

[Меди]

Даден е успоредник $ABCD$ с $\measuredangle BAD=60^\circ$. Ако $\dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{3}{1}$, докажете че $ABCD$ е ромб.
---
Вторите степени ни показват, че може би, ако тръгнем да търсим правоъгълни триъгълници, за които да приложим Питагора теорема, сме на прав път. Построих височините $DD_1$ и $CC_1$ и така получаваме два правоъгълни триъгълника, чиито хипотенузи са диагоналите на успоредника.

Питагорова теорема.png (31.36 KiB) Прегледано 604 пъти

От $\triangle AC_1C \rightarrow AC^2=AC_1^2+CC_1^2=(AB+BC_1)^2+CC_1^2=AB^2+2\cdot AB \cdot BC_1 + BC_1^2+CC_1^2.$
От $\triangle DD_1B \rightarrow BD^2=BD_1^2+DD_1^2$.
И сега как да преобразувам отношението $\dfrac{AC^2}{BD^2}$ и да използвам, че е $3:1$?

[Knowledge Greedy]

С косинусова теорема - два пъти:

Косинусова теорема 2 пъти.png (22.5 KiB) Прегледано 570 пъти

[tex]BD^2=a^2+b^2-2abcos60=a^2+b^2-ab[/tex]
[tex]AC^2=a^2+b^2-2abcos120=a^2+b^2+ab[/tex]

Извод: [tex]3(a^2+b^2-ab)=a^2+b^2+ab[/tex] - пряко от условието.
От това равенство следва,че [tex]a=b[/tex], следователно успоредникът е ромб.

[Меди]

С косинусова теорема - два пъти:
[tex]BD^2=a^2+b^2-2abcos60=a^2+b^2-ab[/tex]
[tex]AC^2=a^2+b^2-2abcos120=a^2+b^2+ab[/tex]

Извод: [tex]3(a^2+b^2-ab)=a^2+b^2+ab[/tex]
От това равенство следва,че [tex]a=b[/tex], следователно успоредникът е ромб.

Здравейте! Благодаря за отговора! Все още не сме учили косинусовата теорема. Последно учихме Питагорова теорема и метрични зависимости в правоъгълен триъгълник.

[Евва]

Нека AB=a,AD=b .
От правоъг.[tex]\triangle[/tex][tex]D_{1 }[/tex]BD докажи,че [tex]BD^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]-ab+[tex]b^{2}[/tex]

От правоъг.[tex]\triangle[/tex]A[tex]C_{1 }[/tex]C докажи,че [tex]AC^{2}[/tex]=[tex]a^{2}[/tex]+ab+[tex]b^{2}[/tex]

[tex]\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{a^{2}-ab+b^{2}}[/tex]=[tex]\frac{3}{1}[/tex] ...

Стигаме до a=b [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD е ромб .

Скрит текст: покажи

В бързината дано не съм сгрешила.

[Евва]

Ха , завършекът на решението ми съвпада с това на Knowledge Greedy .
Успя ли чрез Питагорова теорема да докажеш двете равенства ?

[Меди]

Ха , завършекът на решението ми съвпада с това на Knowledge Greedy .
Успя ли чрез Питагорова теорема да докажеш двете равенства ?

Благодаря за отговора! От $\triangle D_1BD \rightarrow BD^2=BD_1^2+DD_1^2$. От триъгълник $AD_1D$, който е правоъгълен с ъгъл $30^\circ$ имаме, че $AD_1=\dfrac12 AD=\dfrac12 b$. От същия триъгълник с Питагорова теорема можем да получим, че $DD_1^2=AD^2-AD_1^2=...=\dfrac34b^2$. Заместваме в $BD^2=BD_1^2+DD_1^2$ и мисля, че се получава точно това, което сте получили вие.

[S.B.]

Без заглавие (12).png (268.89 KiB) Прегледано 502 пъти

Даден е успоредник $ABCD$ с $\measuredangle BAD=60^\circ$. Ако $\dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{3}{1}$, докажете че $ABCD$ е ромб.

Още един поглед върху задачата - само със знанията на деветокласниците
Нека $AB = CD = a , BC = AD = b$
[tex]\frac{AC^{2}}{BD^{2}} = \frac{3}{1} \Leftrightarrow \frac{AC}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{1} \Rightarrow AC = x\sqrt{3} , BD = x[/tex]
Построявам $DP\bot AB$
За $\triangle APD \rightarrow \angle A = 60^\circ \Rightarrow \angle ADP = 30^\circ \Rightarrow AP = \frac{AD}{2} = \frac{b}{2} \Rightarrow PB = a - \frac{b}{2}$
За $\triangle APD$ прилагам Питагорова теорема и получавам $PD = \frac{b\sqrt{3}}{2}$
За $\triangle BPD$ прилагам Питагор : $BD^{2} = PD^{2} + PB^{2} \Leftrightarrow x^{2} = (a - \frac{b}{2})^{2} + (\frac{b\sqrt{3}}{2})^{2} \Rightarrow$
$x^{2} = a^{2} - ab + b^{2} $ ( 1 )
Построявам $CQ\bot AB ,\triangle BQC \cong \triangle APD \Rightarrow CQ = DP = \frac{b\sqrt{3}}{2} ,AQ = a + \frac{b}{2} ,AC = x\sqrt{3}$
За $\triangle AQC$ прилагам Питагор:
$AC^{2} = AQ^{2} + CQ^{2} \Leftrightarrow 3x^{2} = (a + \frac{b}{2})^{2} + (\frac{b\sqrt{3}}{2})^{2} \Rightarrow$
$ 3x^{2} = b^{2} + ab + a^{2}$ ( 2 )
От (1) и ( 2 ) следва:
$3(a^{2} - ab + b^{2}) = a^{2} + ab + b^{2}\Leftrightarrow 3a^{2} - 3ab + 3b^{2} = a^{2} + ab + b^{2} \Leftrightarrow 2a^{2} - 4ab + 2b^{2} = 0 \Leftrightarrow $
$2(a - b)^{2} = 0 \Rightarrow a = b \Rightarrow ABCD$ е ромб