Решаване на правоъгълен триъгълник

[Меди]

В правоъгълния триъгълник $\triangle ABC$ с $\measuredangle ACB=90^\circ$ медианите са $AA_1=4\sqrt{13}$ и $BB_1=2\sqrt{73}.$ Намерете страните на $\triangle ABC$.

Решаване на правоъгълен триъгълник.png (11.38 KiB) Прегледано 545 пъти

Прилагаме теоремата на Питагор за $\triangle AA_1C$ и $\triangle BB_1C$ и получаваме:
$\triangle AA_1C \rightarrow AC^2+CA_1^2=AC^2+\big(\dfrac12 BC\big)^2=AA_1^2=16\times13=208$
$\triangle BB_1C \rightarrow BC^2+CB_1^2=BC^2+\big(\dfrac12 AC\big)^2=BB_1^2=4\times73=292.$
След малко преобразувания на получените равенства успях да образувам системата $\begin{cases} 4AC^2+BC^2=832 \\ 4BC^2+AC^2=1168 \end{cases} \Leftrightarrow AC=12; BC=16$. От теоремата на Питагор за $\triangle ABC$ намираме, че $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{144+256}=20.$ Отговорите, които са дадени в учебника, са $4;6;2\sqrt{13}$. Има ли някакъв проблем с решението ми? Ако не, това ли е най-бързият начин за намирането на страните? (не сме учили тригонометрични функции на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник) Благодаря Ви предварително!

[Гост]

Няма проблем с решението ти и да това е ОК