Решаване на правоъгълен триъгълник

[Меди]

Катетът $AC$ на правоъгълен триъгълник $\triangle ABC$ $(\measuredangle ACB=90^\circ)$ е $1$ $cm$, а хипотенузата му е $8$ $cm.$ Намерете ъглополовящата $BB_1$ на триъгълника.

Скрит текст: покажи

Отг: $\dfrac{12\sqrt{26}}{5}$

Решаване на правоъгълен триъгълник.png (7.98 KiB) Прегледано 500 пъти

Нека да използваме този чертеж, за който се постарах да изпълнява условието.
Тъй като $BB_1$ е ъглополовяща в триъгълника, $\dfrac{AB_1}{B_1C}=\dfrac{AB}{BC}.$ От теоремата на Питагор за $\triangle ABC$ намираме, че $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{64-1}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$. Следователно $\dfrac{AB_1}{B_1C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{8}{3\sqrt{7}}=\dfrac{8\sqrt{7}}{21} \Rightarrow AB_1=\dfrac{8\sqrt{7}}{21}B_1C.$ Но $AB_1+B_1C=AC=1 \Leftrightarrow \dfrac{8\sqrt{7}}{21}B_1C+B_1C=1 \Rightarrow B_1C=24\sqrt{7}-63.$ От питагоровата теорема за $\triangle BB_1C$ намираме търсената ъглополовяща $BB_1=\sqrt{(24\sqrt{7}-63)^2+63}=\sqrt{8064-3024\sqrt{7}}=\sqrt{1008\cdot (8-3\sqrt{7})}=\sqrt{1008}\cdot \sqrt{8-3\sqrt{7}}=...$ Това не съм сигурен дали мога да продължа да го опростявам. Доста тегави сметки, а вижте техния отговор. Отново ли има някакъв проблем? Благодаря Ви предварително!

[KOPMOPAH]

Отговорът не може да е толкова, колкото е дадено, защото ъглополовящата трябва да е по-малка от $8$, а $$\frac {12\sqrt{26}}5=12,237646832622683592067737861655>8$$
Пак калинки са съставяли задачи...

А и малко вероятно е от $\sqrt{7}$, присъстващ във всички изрази, накрая да се пръкне $\sqrt{26}$ ...

[KOPMOPAH]

$$\sqrt{1008}\cdot \sqrt{8-3\sqrt{7}}=\sqrt{504}\cdot \sqrt{16-6\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{2^3.3^2.7}\cdot \sqrt{9-2.3\sqrt{7}+7}= \\ =6\sqrt{14}\cdot \sqrt{(3-\sqrt{7})^2}= \\ 6\sqrt 2\sqrt 7(3-\sqrt 7)=6\sqrt 2(3\sqrt 7-7)$$

Дано някъде не съм сбъркал след цялата мъка да пиша на телефон, където символът \ се извиква с ТРИ натискания на клавиш...

[math10.com]

$$\sqrt{1008}\cdot \sqrt{8-3\sqrt{7}}=\sqrt{504}\cdot \sqrt{16-6\sqrt{7}}= \\ =\sqrt{2^3.3^2.7}\cdot \sqrt{9-2.3\sqrt{7}+7}= \\ =6\sqrt{14}\cdot \sqrt{(3-\sqrt{7})^2}= \\ 6\sqrt 2\sqrt 7(3-\sqrt 7)=6\sqrt 2(3\sqrt 7-7)$$

Дано някъде не съм сбъркал след цялата мъка да пиша на телефон, където символът \ се извиква с ТРИ натискания на клавиш...

Всъшност не е толкова.Сбъркал си........
Това което е получил Кристиян в решението си е вярно.

Ъглополовящата след опростяване е :[tex]l=\sqrt{1008}.\sqrt{8-3\sqrt{7}}=12\sqrt{7(8-3\sqrt{7})}=12\sqrt{56-21\sqrt{7}}[/tex]

[KOPMOPAH]

Всъщност не съм сбъркал, защото $$6\sqrt 2(3\sqrt 7-7)=12\sqrt{56-21\sqrt{7}}$$в което можете да се убедите , като повдигнете на втора степен и извършите действията...

Скрит текст: покажи

... а ако все пак съм сбъркал - посочете къде ми е грешката