Меню
Даден е правоъгълен $\triangle ABC$ с хипотенуза $AB=c$ и радиус на вписаната окръжност $r$. Изразете дължините на катетите и лицето на триъгълника.
Нека допирните точки на вписаната окръжност $k(I;r)$ със страните $AB,BC$ и $AC$ са съответно $P,N$ и $M$. Четириъгълникът $MINC$ е квадрат. $MI=IN=NC=CM=r, AM=AP=c_1, BN=BP=c_2.$ Можем да съставим системата: $$\begin{cases} \underbrace{(c_1+r)^2}_{=AC^2=b^2}+\underbrace{(c_2+r)^2}_{=BC^2=a^2}=\underbrace{(c_1+c_2)^2}_{=AB^2=c^2} \\ c_1+c_2=c \Rightarrow c_2=c-c_1\end{cases}.$$ След опростяване на първото уравнение се получава $r^2+c_1r+c_2r=c_1c_2$. Заместваме $c_2=c-c_1$ в получения резултат и получаваме квадратно уравнение относно $c_1$: $$c_1^2-cc_1+r^2+cr=0,$$ където всичко освен $c_1$ разглеждаме като параметър. Дискримантата е $D=b^2-4ac=c^2-4r^2-4cr$ и съответно корените $c_{1}=\dfrac{c-\sqrt{c^2-4cr-4r^2}}{2}$ и $c_1'=\dfrac{c+\sqrt{c^2-4cr-4r^2}}{2}$. Оттук малко се обърквам. Получихме два резултата за една и съща отсечка, което е логично - все пак решихме квадратно уравнение относно $c_1$. Как да продължа? Не мисля, че можем да изключим някой от корените, опирайки се на знака (не знаем дали някой от тях е отрицателен). И с двата ли резултата да изразявам $c_2$ и после катетите?