Решаване на равнобедрен триъгълник

[Меди]

В равнобедрен триъгълник дължината на бедрото е $13$ $cm,$ а на основата $-$ $10$ $cm.$ Намерете разстоянието между центъра на вписаната окръжност и медицентъра на триъгълника.

Решаване на равнобедрен триъгълник.png (7.7 KiB) Прегледано 1526 пъти

Знаем, че центърът на вписаната окръжност $I$ и медицентърът $G$ лежат на височината $CD$ $(D\in AB)$ към основата. Следователно търсеното разстояние е $GI=|DG-DI|.$ От свойствата на медицентъра следва, че $DG=\dfrac13 CD.$ От Питагоровата теорема за $\triangle ADC:CD^2=AC^2-AD^2=169-25=144 \Rightarrow CD=12$ $cm.$ Следователно $DG=\dfrac13 \cdot 12=4$ $cm$. Отсечката $DI$ е радиусът на вписаната окръжност $r$ в триъгълника. Изразяваме лицето по два начина: $$S_{\triangle ABC}=\dfrac{AB\cdot CD}{2}=p\cdot r \Rightarrow r=\dfrac{AB\cdot CD}{2p}=\dfrac{10}{3}.$$ Разстоянието е $GI=|DG-DI|=|4-\dfrac{10}{3}|=\dfrac{2}{3}$ $cm.$
----------------------------------
Бих искал да Ви попитам нещо относно триъгълника от условието. Все още не знаем тригонометрия, а мисля с нея можем много лесно да видим дали триъгълникът е остроъгълен или тъпоъгълен. Известно е, че триъгълник е остроъгълен тогава и само тогава, когато квадратът на най-голямата му страна е по-малък от сбора на квадратите на другите му две страни. Сиреч, $13^2<13^2+10^2,$ което е очевидно изпълнено за "нашия" триъгълник. Това ли е най-бързият начин, по който мога да го съобразявам засега?

[Добромир Глухаров]

Бих искал да Ви попитам нещо относно триъгълника от условието. Все още не знаем тригонометрия, а мисля с нея можем много лесно да видим дали триъгълникът е остроъгълен или тъпоъгълен. Известно е, че триъгълник е остроъгълен тогава и само тогава, когато квадратът на най-голямата му страна е по-малък от сбора на квадратите на другите му две страни. Сиреч, $13^2<13^2+10^2,$ което е очевидно изпълнено за "нашия" триъгълник. Това ли е най-бързият начин, по който мога да го съобразявам засега?

Аз не се сещам за по-кратък начин, а този е следствие от Косинусовата Теорема, която се извежда чрез Питагоровата и решаване на правоъгълен триъгълник (получен чрез спускане на височината) - използва се дефиницията за косинус на ъгъл в правоъгълен триъгълник.
Така Косинусовата Теорема за най-дългата страна $AB$ гласи: $AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.cos\angle ACB\Rightarrow cos\angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.AC.BC}$. Ако $AC^2+BC^2>AB^2$ косинусът на най-големия ъгъл е положително число и $\angle ACB<90^\circ$. И обратно: ако $AC^2+BC^2<AB^2$ косинусът на най-големия ъгъл е отрицателно число и $\angle ACB>90^\circ$.
Но всичко това се учи в девети клас. (Сега може би чак в десети.)