Решаване на правоъгълен трапец

[Меди]

В правоъгълен трапец $ABCD$ $(AB\parallel CD)$ и $AD\perp AB,$ е вписана окръжност $k(O).$ Намерете лицето на трапеца, ако $CO=6$ $cm,BO=8$ $cm.$

Скрит текст: покажи

Отговор: $94,08$ $cm^2$

Тъй като ъглите $B$ и $C$ са прилежащи, получени при пресичането на основите на трапеца с наклоненото бедро $BC, \measuredangle ABC+\measuredangle BCD=180^\circ \Rightarrow \dfrac12 \measuredangle ABC+\dfrac12 \measuredangle BCD=90^\circ,$ което означава, че третият ъгъл $(\measuredangle BOC)$ на $\triangle BOC$ е прав. С Питагорова теорема за същия триъгълник може да намерим $BC=\sqrt{8^2+6^2}=10$ $cm.$ Така че това, което знаем за трапеца, е, че е правоъгълен, описан около окръжност, т.е $AB+CD=AD+BC$ и наклоненото му бедро е $10$ $cm.$ Определена ли е задачата?

[Меди]

С малката подсказка на Евва, за която много и благодаря, реших задачата. Известно е, че височината към хипотенузата в $\triangle BCO$ е $h_{BC}=r=\dfrac{OB\cdot OC}{BC}=\dfrac{24}{5}.$ Друго известно нещо е, че радиусът на вписана в правоъгълен трапец окръжност, е половината от бедрото, перпендикулярно на основите. Следователно $AD=2r=\dfrac{48}{5}.$ Използвайки факта, че трапецът е описан, за лицето получаваме $S_{ABCD}=\dfrac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\dfrac{(AD+BC)\cdot AD}{2}=94.08$ $cm^2.$