Лице на триъгълник

[Евва]

Вътре в правоъгълен [tex]\triangle[/tex]АВС с хипотенуза -с е взета точка Р така,че триъгълниците
АВР ,ВСР ,САР са равнолицеви.
Да се докаже ,че [tex]АР^{2}[/tex]+[tex]ВР^{2}[/tex]=5[tex]СР^{2}[/tex] .

[KOPMOPAH]

Лице на триъгълник-2.png (9.01 KiB) Прегледано 455 пъти

Триъгълниците $\triangle ABP$, $\triangle BCP$ и $\triangle ACP$ са равнолицеви, значи лицето на всеки един от тях е $\frac 13 S_{ABC}$.
Щом $S_{ACP}=\frac 13 S_{ABC}$, при равни основи (катета $b$) височината на $\triangle ACP$ е три пъти по-малка от височината на $\triangle ABC$, следователно $PF=EC=\frac 13 a$. Аналогично $PE=FC=\frac 13 b$

По Питагорова теорема:$$CP^2=\left(\frac 13 a\right)^2+\left(\frac 13 b\right)^2=\frac 19 \left(a^2+b^2\right)~~~(1),$$ $$AP^2=\left(\frac 13 a\right)^2+\left(\frac 23 b\right)^2=\frac 19 \left(a^2+4b^2\right)~~~(2),$$ $$BP^2=\left(\frac 23 a\right)^2+\left(\frac 13 b\right)^2=\frac 19 \left(4a^2+b^2\right)~~~(3),$$
Събирайки равенствата $(2)$ и $(3)$, получаваме:$$AP^2+BP^2=\frac 19 \left(a^2+4b^2\right)+\frac 19 \left(4a^2+b^2\right)=\frac 19 \left(5a^2+5b^2\right)=5\left(\frac 19 \left(a^2+b^2\right)\right)=5CP^2$$