Решаване на успоредник

[Меди]

Радиусът на вписаната в ромб окръжност е $3\sqrt{3}$ $cm.$ Ако страната на ромба е $7\sqrt{3},$ намерете дължините на диагоналите му.

Скрит текст: покажи

Отговор: $(\sqrt{273}\pm\sqrt{29})$ $cm$

Нека диагоналите $AC$ и $BD$ се пресичат в точка $O.$ Радиусът на вписаната окръжност е пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на ромба, т.е. $O$ е и център на вписаната окръжност (диагоналите на ромба са ъглополовящи на ъглите му). Нека $OH$ бъде височината към хипотенузата в $\triangle AOB.$ Тогава $OH=r=\dfrac{AO\cdot BO}{AB} \Rightarrow AO\cdot BO=63 \Leftrightarrow \dfrac12d_1\cdot\dfrac12d_2=63 \Leftrightarrow d_1d_2=252.$ За второто уравнение на системата, към която се стремя, използвах, че $d_1^2+d_2^2=4AB^2=588.$ (това ли е най-кратката връзка, която може да използваме?) Тоест диагоналите на ромба удовлетворяват симетричната система: $$\begin{cases} d_1d_2=252 \\ d_1^2+d_2^2=588\end{cases} \Leftrightarrow (\sqrt{273}\pm\sqrt{21};\sqrt{273}\mp\sqrt{21}).$$ При мен ли е грешката или при отговорите?

[math10.com]

[tex]S=p.r=2.a.r=126[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}S=\frac{d_1.d_2}{2}\Rightarrow d_1.d_2=252 \\ \frac{d_1^2}{4}+\frac{d_2^2}{4}=a^2=588 \end{array}[/tex]

Първото уравнение е формула за лице на многоъгълник , в който може да се впише окръжност.Доказва се елементарно.
Второто е Питагорова теорема за [tex]\triangle AOB[/tex] , защото [tex]O[/tex] разполовява диагоналите

[Меди]

[tex]S=p.r=2.a.r=126[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}S=\frac{d_1.d_2}{2}\Rightarrow d_1.d_2=252 \\ \frac{d_1^2}{4}+\frac{d_2^2}{4}=a^2=588 \end{array}[/tex]

Първото уравнение е формула за лице на многоъгълник , в който може да се впише окръжност.Доказва се елементарно.
Второто е Питагорова теорема за [tex]\triangle AOB[/tex] , защото [tex]O[/tex] разполовява диагоналите

Благодаря за отговора! Само мисля второто уравнение на системата трябва да е $\dfrac{d_1^2}{4}+\dfrac{d_2^2}{4}=a^2=(7\sqrt{3})^2=49\cdot3=147 \Rightarrow d_1^2+d_2^2=147\cdot 4=588.$ В действителност вашата система е еквивалента на моята, но пътят до нея е наистина по-елегантен.