Метрични зависимости между отсечки в окръжност

[Меди]

изтеглен файл.png (50.98 KiB) Прегледано 860 пъти

В окръжност с диаметър $10$ $cm$ е вписан равнобедрен триъгълник с основа $8$ $cm.$ Като използвате метричните зависимости в окръжност, намерете височината към основата му.

Скрит текст: покажи

Отговор: $8$ $cm$ или $2$ $cm$

Метрични зависимости между отсечки в окръжност.png (13.97 KiB) Прегледано 860 пъти

Успявам да реша задачата, но със знанията от решаване на равнобедрен триъгълник. Не мога да съобразя как трябва да използваме метричните зависимости. Трябват ни хорди, които се пресичат - всяка хорда се определя еднозначно от две точки, лежащи върху окръжността; в случая имаме само три точки, които лежат върху окръжността, а именно върховете не триъгълника. Те определят три хорди, но не мисля, че може да използваме метричните зависимости за тях. Може ли малко помощ относно построението, което е най-рационално да направим?
Нека $OH=x, x>0.$ От Питагорова теорема за $\triangle AHC$ получаваме, че $AC^2=AH^2+CH^2=16+(5+x)^2.$ От друга страна, триъгълниците $AHC$ и $OPC$ са подобни по първи признак. Следователно $\dfrac{CH}{CP}=\dfrac{AC}{CO} \iff \dfrac{5+x}{\frac12 AC}=\dfrac{AC}{5} \iff AC^2=10(5+x).$ Приравняваме и получаваме $x=3,$ което означава че височината е $CH=CO+OH=(5+3)$ $cm=8$ $cm.$ Случаят, в който точката $O$ е външна за триъгълника ($\triangle ABC$ е тъпоъгълен), е аналогичен. Не успях да се сетя за по-бърз начин.

[Меди]

Скрит текст: покажи

Нека продължим $CH$ до пресичането ѝ с окръжността в т. $D.$ Вече метричните зависимости са приложими за диаметъра $CD$ и хордата $AB.$ Получава се системата: $$CH\cdot HD=AH\cdot HB \Rightarrow CH\cdot HD = \dfrac14 AB^2=\dfrac14 64=16\\ CH+HD=2R=d=10.$$ Решенията ѝ са наредените двойки $(2;8)$ и $(8;2).$ Това са точно отговорите за височината. Какво трябва да напиша оттук нататък и защо се получава така? Може ли да Ви попитам и дали това, което съм написал в поста, е най-бързият начин за намиране на височината, ако забравим за метричните зависимости в окръжност?

[Евва]

Може да се реши само с 1 уравнение .
CH.DH=AH.BH (A)
CH(CD-CH)=AH.BH
h(10-h)=4.4
[tex]h^{2}[/tex]-10h+16=0
[tex]h_{1 }[/tex]=2 см. [tex]h_{2 }[/tex]=8 см.

1 отговор-ако [tex]\triangle[/tex]АВС е тъпоъгълен
2 отговор-ако [tex]\triangle[/tex]АВС е остроъгълен
________________________________________________________
Ако не се сетим за това решение ,можем да използваме подобието на [tex]\triangle[/tex]AHC и [tex]\triangle[/tex]DBH (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\frac{CH}{BH}[/tex]=[tex]\frac{AH}{DH}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] CH.DH=AH.BH (A)

[S.B.]

Без заглавие (93).png (240.95 KiB) Прегледано 807 пъти

[tex]CBC_{1 }[/tex] е правоъгълен,защото $CC_{1 }$ е диаметър .$CH \bot AB \Rightarrow BH\bot CC_{1 } \Rightarrow$
$ BH^{2} = CH.HC_{1 } \Leftrightarrow 4^{2} = h(10 - h) \Rightarrow h_{1 } = 8 , h_{2 } = 2$
Същият резултат ще получиш ако използваш :$ AH.HB = CH .HC_{1 }$