Метрични зависимости между отсечки в окръжност

[Меди]

Ще си позволя и аз да публикувам няколко задачи в един пост, защото са една след друга в учебника ми, а и на трите имам някакви съображения относно авторските отговори.

Скрит текст: покажи

Задачите са от учебника на Регалия за 9. клас, ако някой се интересува.

Качвам снимки, за да сме сигурни, че няма да сбъркам условията при набирането им.

1 и 2.jpg (95.63 KiB) Прегледано 1379 пъти

3.jpg (46.8 KiB) Прегледано 1379 пъти

Скрит текст: покажи

Отговори (използвам номерацията на задачите от снимките): 3 зад. $27$ $cm$ и 4 зад. $(10\pm \sqrt{12})$ $cm$

Чертеж1.png (8.71 KiB) Прегледано 1379 пъти

Тук нещото, което трябва да ни направи впечатление, е, че $AO\cdot OM=5\times8 =BO\cdot ON=10\times4.$ Не зная дали можем оттук да твърдим, че точките лежат на една окръжност, защото нямаше такава теорема (нито задача) в урока. Аз си казах нека $k$ е окръжността описана около $\triangle BMN.$ Ако докажем, че точката $A\in k,$ сме готови. За целта нека допуснем противното, т.е. $A\notin k.$ Тогава нека лъчът $MO$ пресича $k$ в точката $A_1.$ От метричните зависимости $BO\cdot ON=A_1O\cdot OM \Rightarrow А_1О=5$ $cm,$ но и $AO=5$ $cm.$ И сега на лъчът $Op$ сме нанесли отсечка, равна на $5$ $cm,$ и тя е единствена. Оттук мисля, че задачата следва.

Чертеж2.png (6.68 KiB) Прегледано 1379 пъти

Получавам $CD=3$ и следователно $MD=MC+CD=2CD+CD=3CD=9$ $cm.$

За последната задача утре ще пиша какво съм направил.

[Davids]

По зад. 2:
Нека произволно в равнината имаме две пресичащи се отсечки $AB\times CD = O$ със свойството $AO.OB = CO.OD$. От това директно ни следва, че $\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$. Заедно с равните връхни ъгли $\angle AOC = \angle BOD$, това ни дава подобието на двата триъгълника $\triangle AOC \sim\triangle DOB$. Аналогично $\triangle AOD\sim\triangle COB$. Ако нанесеш съответните две по две равни стойности на ъглите, вписани срещу четирите дъги, на които е разделена окръжността (да ги наречем $\alpha, \beta,\gamma\varphi$), то лесно ще забележиш, че сборът от всеки два срещуположни ъгъла на четириъгълника $ABCD$ е равен на $\alpha + \beta + \gamma + \varphi = 180^{\circ}$, с което вписаността на четириъгълника е доказана. В заключение: да, ако имаме две такива пресечени отсечки в равнината, то краищата им лежат на една окръжност.

geogebra-export.png (110.57 KiB) Прегледано 1374 пъти

По трета не виждам никакъв проблем, толкова е, така е.

[Меди]

По зад. 2:
Нека произволно в равнината имаме две пресичащи се отсечки $AB\times CD = O$ със свойството $AO.OB = CO.OD$. От това директно ни следва, че $\frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB}$. Заедно с равните връхни ъгли $\angle AOC = \angle BOD$, това ни дава подобието на двата триъгълника $\triangle AOC \sim\triangle DOB$. Аналогично $\triangle AOD\sim\triangle COB$. Ако нанесеш съответните две по две равни стойности на ъглите, вписани срещу четирите дъги, на които е разделена окръжността (да ги наречем $\alpha, \beta,\gamma\varphi$), то лесно ще забележиш, че сборът от всеки два срещуположни ъгъла на четириъгълника $ABCD$ е равен на $\alpha + \beta + \gamma + \varphi = 180^{\circ}$, с което вписаността на четириъгълника е доказана. В заключение: да, ако имаме две такива пресечени отсечки в равнината, то краищата им лежат на една окръжност.

Благодаря за отговора! А още повече, че знаем, че един четириъгълник е вписан в окръжност тогава и само тогава, когато коя да е негова страна се вижда от другите два върха на четириъгълника под един и същ ъгъл. Затова кое да е от двете подобия е достатъчно. Между другото, моето решение логически издържано ли е?

На 4. задача, тъй като не е указано дали точката, в която хордите се пресичат, е външна или вътрешна за окръжността, мисля, че имаме и трети отговор, а именно $(10+2\sqrt{55})$ $cm.$ Може ли някой да ме провери?