Метрични зависимости между отсечки в окръжност

[Меди]

Точката $A$ се намира на разстояние $2r$ от центъра на окръжност с радиус $r.$ През точката $A$ е построена секуща на окръжността, която я пресича в точките $B$ и $C,$ като $B$ е между $A$ и $C.$ Намерете дължините на отсечките $AB$ и $AC,$ ако разстоянието от центъра на окръжността до построената секуща е $\dfrac35r.$

Скрит текст: покажи

Отговор: $AB=\dfrac{\sqrt{91}-4}{5}r;AC=\dfrac{\sqrt{91}+4}{5}r.$

Чертеж.png (9.99 KiB) Прегледано 1245 пъти

От Питагорова теорема за $\triangle AHO$ имаме, че $AH=AB+BH=x+y=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{4r^2-\dfrac{9}{25}r^2}=\dfrac{\sqrt{91}}{5}r$ $(1).$ От метричните зависимости в окръжност имаме $AB\cdot AC=AD\cdot AM \Leftrightarrow y(2x+y)=r\cdot 3r \Leftrightarrow y^2+2xy=3r^2$ $(2).$ Системата $(1)-(2)$ можем да решим чрез заместване: от първото уравнение изразяваме едното неизвестно чрез другото и заместваме във второто. Никак приятно не се получава. Някаква друга идея за решение?

[KOPMOPAH]

Чертеж-2.png (11.96 KiB) Прегледано 1240 пъти

В правоъгълния триъгълник $\triangle OCH$ единият катет е $OH=\frac 35r$, а хипотенузата $r=\frac 55r$, значи другият катет е $\frac 45r=x$

[Евва]

Според мен се получава приятна система .

[tex]\begin{array}{|l} (у+x)^{2} +( \frac{3r}{5})^{2} = (2r)^{2} \\ y^{2}+2xy = 3r^{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} y^{2}+2xy+x^{2} = 4r^{2}-\frac{9r^{2}}{25} \\ y^{2}+2xy = 3r^{2} \end{array}[/tex]

Заместваме изразът [tex]у^{2}[/tex]+2ху от второто ур-е в първото .

3[tex]r^{2}[/tex]+[tex]x^{2}[/tex]=4[tex]r^{2}[/tex]-[tex]\frac{9r^{2}}{25}[/tex]

[tex]x^{2}[/tex]=[tex]\frac{16r^{2}}{25}[/tex]

x=[tex]\frac{4r}{5}[/tex]

Нататък е лесно .

[S.B.]

Без заглавие - 2020-05-30T084803.935.png (239.67 KiB) Прегледано 1214 пъти

[Меди]

Благодаря на всички за отговорите! Трябва да спра да решавам задачи толкова късно вечер.

Може би на някого ще му е интересно да види как се решава уравнението относно $x,$ което получаваме като използваме метричните зависимости в окръжност $(AB\cdot AC=AD\cdot AM \iff x(x+\frac85r)=r\cdot3r):$ $$5x^2+8rx-15r^2=0$$ Гледаме на $r$ като на параметър (известна величина) и тогава коефициентите са $a=5;b=8r,k=4r;c=-15r^2.$ Пресмятаме дискриминантата $D=k^2-ac=91r^2>0.$ Уравнението има два реални корена $x_{1,2}=\dfrac{-4r\pm\sqrt{91}r}{5},$ като нас ни интересува само положителният, защото $AB=x$ е дължина на отсечка. Следователно $x=\dfrac{\sqrt{91}-4}{5}r.$