Метрични зависимости и успоредник

[Гост]

Здравейте, може ли да получа насоки как да подходя към тази задача?

В успоредника ABCD височините AD и BF пресичат диагонала AC съответно в точките M и N. Намерете страните на успоредника, ако AM=a, MN=b, NC=c

[Knowledge Greedy]

Виж си условието. Височината AD? Тогава това е правоъгълник !?

Нека AD е височина. Но Правата AD пресича правата AC в точка A ! Каква е тази пресечна точка M в условието

... височините AD и BF пресичат диагонала AC съответно в точките M и N. ...

[Гост]

Извинявахте, объркала съм условието. Пробвах да кача снимка на чертежа, но нещо не ми се получи, затова коригирам условието:

В успоредника ABCD височините DЕ и DF пресичат диагонала AC съответно в точките M и N. Намерете страните на успоредника, ако AM=a, MN=b, NC=c

[Гост]

[tex]\sqrt{\frac{c(b+c)(a+b+c)}{a+c}}[/tex] ; [tex]\sqrt{\frac{a(a+b)(a+b+c)}{(a+c)}}[/tex]

Това ли е верния отговор ?

[Евва]

Приех,че DE[tex]\bot[/tex]AB ,DF[tex]\bot[/tex]BC (т.М е м/у т.А и т. N ; т.N е м/у т.М и т.С)
AB=x=? BC=y=?
[tex]\triangle[/tex]AEM[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]MCD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AM}{MC}[/tex]=[tex]\frac{AE}{CD}[/tex] т.е. [tex]\frac{a}{b+c}[/tex]=[tex]\frac{AE}{x}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AE=[tex]\frac{ax}{b+c}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]AND[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]FCN (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AN}{NC}[/tex]=[tex]\frac{AD}{FC}[/tex] т.е. [tex]\frac{a+b}{c}[/tex]=[tex]\frac{y}{FC}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] FC=[tex]\frac{cy}{a+b}[/tex] (2)

[tex]\triangle[/tex]AED[tex]\approx[/tex][tex]\triangle[/tex]FCD (1 признак) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{AE}{CF}[/tex]=[tex]\frac{AD}{CD}[/tex] ; [tex]\frac{\frac{ax}{b+c}}{\frac{cy}{a+b}}[/tex]=[tex]\frac{y}{x}[/tex] ...Получаваме [tex]y^{2}[/tex]=[tex]\frac{x^{2}a(a+b)}{c(b+c)}[/tex] (3)

[tex]AC^{2}[/tex]+[tex]BD^{2}[/tex]=2[tex]АВ^{2}[/tex]+2[tex]ВС^{2}[/tex]
([tex]a+b+c)^{2}[/tex]+[tex]DE^{2}[/tex]+[tex]BE^{2}[/tex]=2[tex]x^{2}[/tex]+2[tex]y^{2}[/tex]
([tex]a+b+c)^{2}[/tex]+[tex]AD^{2}[/tex]-[tex]AE^{2}[/tex]+([tex]AB-AE)^{2}[/tex]=2[tex]x^{2}[/tex]+2[tex]y^{2}[/tex]
([tex]a+b+c)^{2}[/tex]-2xAE=[tex]x^{2}[/tex]+[tex]y^{2}[/tex] (използваме 1)
([tex]а+b+c)^{2}[/tex]-2x.[tex]\frac{ax}{b+c}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+[tex]y^{2}[/tex] (4)

Остава да решим системата от (3) и (4) уравнение ,заместваме (3) в (4) и получаваме:
([tex]a+b+c)^{2}[/tex]-[tex]\frac{2ax^{2}}{b+c}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex]+[tex]\frac{x^{2}a(a+b)}{c(b+c)}[/tex]
c(b+c)([tex]a+b+c)^{2}[/tex]=2ac[tex]x^{2}[/tex]+c(b+c)[tex]x^{2}[/tex]+a(a+b)[tex]x^{2}[/tex]
c(b+c)([tex]a+b+c)^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex](2ac+bc+[tex]c^{2}[/tex]+[tex]a^{2}[/tex]+ab)
c(b+c)([tex]a+b+c)^{2}[/tex]=[tex]x^{2}[/tex](a+c)(a+b+c)

x=[tex]\sqrt{\frac{c(b+c)(a+b+c)}{a+c}}[/tex]

Скрит текст: покажи

Връщаме се към (3) и получаваме:

y=[tex]\sqrt{\frac{a(a+b)(a+b+c)}{a+c}}[/tex]